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ln2b?ln2a2ln??令f(x)?lnx,
b?a?2令?(t)?lnt1?lntln?22,?'(t)??0??(?)??(e)?? t?t2e2ln2b?ln2a?
三、补充习题（作业） 1.f(x)?ln4(b?a) （关键：构造函数） e21?x3,求y''(0)?? 221?xt??x?esin2t在(0,1)处切线为y?2x?1?0 2.曲线?t??y?ecos2t3.y?xln(e?11)(x?0)的渐进线方程为y?x? xe224.证明x>0时(x?1)lnx?(x?1)
2(x2?1) 证：令g(x)?(x?1)lnx?(x?1),g'(x),g''(x),g'''(x)?
x322 g(1)?g'(1)?0，g''(1)?2?0
x?(0,1),g'''?0,g''?2??x?(0,1),g'?0 ?g?0 ??g''?0??x?(1,??),g'''?0,g''?2?x?(1,?),g'?0?
第三讲 不定积分与定积分
一、理论要求 1.不定积分 2.定积分
掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）
会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部） 理解定积分的概念与性质
理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分
会用定积分求几何问题（长、面、体）
会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值
二、题型与解法 A.积分计算
1.
?dxx(4?x)??dx4?(x?2)2?arcsinx?2?C 215
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2.e2x(tanx?1)2dx?e2xsec2xdx?2e2xtanxdx?e2xtanx?C
???3.设f(lnx)?ln(1?x)，求?f(x)dx xln(1?ex)dx 解：?f(x)dx??xeex?eln(1?e)??(1?)dx?x?(1?e?x)ln(1?ex)?C x1?e?xxB.积分性质
b1arctanx1x?1?dx??arctanx|?lim(?)dx??ln2 12?1x2?1b???xx1?x421f(x)?(x)??f(xt)dt,且lim5.f(x)连续，求?(x)并讨论?'(x)?A，
0x??0x在x?0的连续性。
4.
??解：f(0)??(0)?0,y?xt??(x)?
x0f(y)dyx
?'(x)?6.
xf(x)??f(y)dyx02x??'(0)?A?lim?'(0)?A/2??'(0) 2x??0dxdx222222tf(x?t)dt??f(x?t)d(t?x) ??00dx2dx2dx2 ?f(y)d(y)?xf(x) ?02dxC.积分的应用
7.设f(x)在[0，1]连续，在（0，1）上f(x)?0，且xf'(x)?f(x)?3a2x，2又f(x)与x=1,y=0所围面积S=2。求f(x)，且a=?时S绕x轴旋转体积最小。
1df(x)3a3a2()??f(x)?x?cx??f(x)dx?2?c?4?a
0dxx2213a2 ?f(x)?x?(4?1)x?V'?(??y2dx)'?0?a??5
02解：8.曲线y?x?1，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与x轴所围图形
2绕x轴旋转的表面积。
解：切线y?x/2绕x轴旋转的表面积为 曲线y??02?yds?5?
2x?1绕x轴旋转的表面积为?2?yds?1?6(55?1)
总表面积为
三、补充习题（作业） 15
?6(115?1)
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lnsinx?sin2xdx??cotxlnsin2x?cotx?x?C
x?52.?2dx
x?6x?131.3.
?arcsinxxdx
第四讲 向量代数、多元函数微分与空间解析几何
一、理论要求 1.向量代数
理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模） 了解两个向量平行、垂直的条件 向量计算的几何意义与坐标表示
理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质 理解偏导数、全微分概念 能熟练求偏导数、全微分
熟练掌握复合函数与隐函数求导法
理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值 掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法 会求平面、直线方程与点线距离、点面距离
2.多元函数微分
3.多元微分应用 4.空间解析几何
二、题型与解法 A.求偏导、全微分
''''2x1.f(x)有二阶连续偏导，z?f(esiny)满足zxx?zyy?ez，求
xf(x)
解：f''?f?0?f(u)?c1e?c2eu?u
1?2z2.z?f(xy)?y?(x?y)，求
x?x?y3.y?y(x),z?z(x)由z?xf(x?y),F(x,y,z)?0决定，求dz/dx
B.空间几何问题
4.求和。 解：x/2x?y?z?a上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之
x0?y/y0?z/z0?a?d?a
225.曲面x?2y?3z?21在点(1,?2,2)处的法线方程。
C.极值问题
6.设z?z(x,y)是由x?6xy?10y?2yz?z?18?0确定的函数，求z?z(x,y)的极值点与极值。
15
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三、补充习题（作业）
xy?2z1.z?f(xy,)?g(),求
yx?x?y2.z?f(xy,?xy?z?g()),求 yx?x3.z?u,u?lnyx2?y2,??arctan,求dz
x第五讲 多元函数的积分
一、理论要求 1.重积分
熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）
??D?bdxy2(x)f(x,y)dy???y1(x) f(x,y)dxdy???a2r2(?)???1d??r1(?)f(r,?)rdr?by2(x)z2(x,y)?dxdy?a?y1(x)?z1(x,y)f(x,y,z)dz?z2?2(z)r2(z,?)?f(x,y,z)dxdydz???dz?d??f(r,?,z)rdr
z1?1(z)r1(z,?)???2(?)r2(?,?)2???d???1(?)d??r1(?,?)f(r,?,?)rsin?dr????V会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）
z?f(x,y)?A???2.曲线积分
D21?z'2x?z'ydxdy
理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法
b?L:y?y(x)??f(x,y(x))1?y'2xdxa????x?x(t)f(x,y)dl??L:???f(x(t),y(t))x't2?y't2dt
??y?y(t)??L:r?r(?)??f(rcos?,rsin?)r2?r'2d?????L3.曲面积分
熟悉Green公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件
理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系 熟悉Gauss与Stokes公式，会计算两类曲面积分
22f(x,y,z)dS?f(x,y,z(x,y))1?z'?z'xydxdy??S:z?z(x,y)??Dxy??? Gauss:??E?dS??????EdV(通量，散度）SV????Stokes:?F?dr???(??F)?dS(旋度）LS
二、题型与解法
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A.重积分计算
B.曲线、曲面积分
15
1.I????(x2?y2?)dV,?为平面曲线??y2?2z绕z轴旋转一周与z=8
?x?0的围域。 解：I??882?2z0dz??x2?y2?2z(x2?y2)dxdy??0dz?0d??0r2rdr?1024?3 22.I???x?y2D4a2?x2?y2dxdy,D为y??a?a2?x2(a?0)与
2y??x围域。
（I?a2(?16?12) 3.f(x,y)???x2y,1?x?2,0?y?x0,其他，
?求
??Df(x,y)dxdy,D:x2?y2?2x (49/20)
4.I??(exsiny?b(x?y))dx?(excosy?ax)dy
L L从A(2a,0)沿y?2ax?x2至O(0,0) 解：令L1从O沿y?0至A I??)dxdy?a?L??L1????(b?a?2(?bx)dx?(L1D02?2)a2b??2a3
5.I??xdy?ydxL4x2?y2,L为以(1,0)为中心，R(?1)为半径的圆周正向。
解：取包含(0,0)的正向L1:??2x?rcos??y?rsin?，
?L??L1?L??L1?0??L??L1??
6.对空间x>0内任意光滑有向闭曲面S，
??Sxf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0，且f(x)在x>0有连续一
阶导数，xlim??0?f(x)?1,求f(x)。
解：
0???sF??dS?????????FdV?????(f(x)?xf'(x)?xf(x)?e2x)dV y'?(11x2xex?1)y?xe?y?x(ex?1)
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