2．1.1 随机变量
填一填
1.随机变量
(1)定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．
(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示． 2．离散型随机变量
(1)定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． (2)特征：
①可用数值表示．
②试验之前可以判断其出现的所有值． ③在试验之前不能确定取何值． ④试验结果能一一列出. 判一判 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(√)
2．在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．(√) 3．离散型随机变量的取值是任意的实数．(×)
4．手机电池的使用寿命X是离散型随机变量．(×) 5．某人在车站等出租车的时间离散型随机变量．(×)
6．某人投篮10次，可能投中的次数离散型随机变量．(√)
7．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中无放回的条件下每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为1,2，…，11.(×)
8．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值是300,100，－100，－300.(√)
想一想 1.掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？
提示：可以．可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上． 2．随机变量和函数有什么类似的地方？
提示：随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．
3．在掷骰子和掷硬币的随机试验中，试验结果可以一一列举出来吗？若用X表示电灯泡的使用寿命，则X的值可以一一列举出来吗？
提示：掷骰子和掷硬币的试验结果可以一一列举出来，而电灯泡的使用寿命X不能一一列举．
4．任何随机试验的结果都可以用数字表示吗？
提示：可以．实陡我们可以建立一个随机试验的所有结果同实数间的对应关系，根据问题的需要选择相应数字．
5．离散型随机变量的取值必须是有限个吗？
提示：不一定．可以是无限个，如1,2,3，…，n，…. 6．离散型随机变量是否满足下列特征？
①可以用数来表示；②试验之前可以判断其可能出现的所有值；③在试验之前不能确定取何值．
提示：①②③都是离散型随机变量的特征． 思考感悟：
练一练 1.给出下列四个命题： ①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量； ②解答高考数学卷Ⅰ的时间是随机变量； ③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量． 其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：由随机变量的概念可以直接判断①②③④都是正确的． 答案：D
2．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值是( )
A．1,2，…，5 B．1,2，…，10 C．2,3，…，10 D．1,2，…，6
解析：第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一个，两次的号码和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.
答案：C
3．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取3件，记次品的件数为X，则{X<2}表示的试验结果是________________________．
解析：应分X＝0和X＝1两类．X＝0表示取到3件正品；X＝1表示取到1件次品、2件正品．故{X<2}表示的试验结果为取到1件次品、2件正品或取到3件正品．
答案：取到1件次品、2件正品或取到3件正品
4．一批产品共有12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是________．
解析：可能第一次就取得合格品，也可能取完次品后才取得合格品．X的结果有0,1,2,3. 答案：0,1,2,3
知识点一 随机变量的概念
1.6件产品中有2件次品与4件正品，从中任取2件，则下列可作为随机变量的是( )
A．取出产品的件数 B．取出正品的件数 C．取到产品的概率 D．取到次品的概率
解析：由题意知，此试验所有可能结果为2件正品、1件正品和1件次品、2件次品．因此取出正品的件数可作为随机变量．故选B.
答案：B
2．一个袋中装有除颜色外完全相同的2个黑球和6个红球，从中任取两个，可以作为了随机变量的是( )
A．取到的球的个数 B．取到红球的个数 C．至少取到一个红球
D．至少取到一个红球或一个黑球
解析：A项中叙述的结果是确定的，不是随机变量；B项中叙述的结果可能是0,1,2，所以是随机变量．C项和D项叙述的结果也是不确定的，但不能包含所有可能出现的结果，故不是随机变量．
答案：B 知识点二 离散型随机变量的判定 3.①某座大桥一天经过的中华牌轿车的辆数为X；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为X；③一天内的温度为X；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分．其中X是离散型随机变量的是( )
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④
解析：一天内的温度X变化的范围是连续的，无法逐一列出，它不是离散型随机变量，故选B项．
答案：B
4．指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由． (1)某教学资源网站一天内的点击量． (2)你明天上学进入校门的时间． (3)某市明年下雨的次数．
(4)抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差．
解析：(1)某教学资源网站一天内的点击量可以一一列出，是离散型随机变量．
(2)你明天上学进入校门的时间，可以是某区间内任意实数，不能一一列出，不是离散型随机变量．
(3)某市明年下雨的次数可以一一列出，是离散型随机变量．
(4)抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差可以在某区间内连续取值，不能一一列出，不是离散型随机变量. 知识点三 离散型随机变量的取值 5.写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果： (1)在2017年北京大学的自主招生中，参加面试的5名考生中，通过面试的考生人数X； (2)一个袋中装有大小相同的2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X； (3)一个袋中装有5个同样大小的球，编号分别为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大编号X.
解析：(1)X可能取0,1,2,3,4,5.{X＝i}表示“面试通过的有i人”，其中i＝0,1,2,3,4,5. (2)X可能取0,1,2.{X＝i}表示“取出的3个球中有i个白球，3－i个黑球”，其中i＝0,1,2. (3)X可能取3,4,5.{X＝3}表示“取出的3个球的编号为1,2,3”；{X＝4}表示“取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4”；{X＝5}表示“取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5”．
6．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果： (1)抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，所得点数之和Y；
(2)盒子装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数X，所含红粉笔的支数Y；
(3)在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，所含有次品的件数X. 解析：(1)Y的可能取值为2,3,4，…，12.
若以(i，j)表示抛掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i点且骰子乙得j点，则{Y＝2}表示(1,1)；{Y＝3}表示(1,2)，(2,1)；{Y＝4}表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；…；{Y＝12}表示(6,6)．
(2)X的可能取值为1,2,3.
{X＝i}表示“取出i支白粉笔，3－i支红粉笔”，其中i＝1,2,3. Y可取0,1,2.
{Y＝i}表示“取出i支红粉笔，3－i支白粉笔”，其中i＝0,1,2. (3)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.
{X＝i}表示“取出的4件产品中有i件次品”，其中i＝0,1,2,3,4. 综合知识 7.某市公交公司规定：身高不超过120 cm的学生免费乘车，凡身高超过120 cm的学生，每次乘车0.5元，若学生每次乘车应交的车费为η(单位：元)，学生的身高用ξ(单位：cm)表示，那么ξ和η是不是离散型随机变量？若是，请写出相应的取值情况．
解析：由于每个学生对应唯一的一个身高，并且可以一一列举出来，因此ξ是一个离散型
??0?ξ≤120?，
随机变量，其取值为本市所有学生的身高．η＝?因此η也是一个离散型随机变
?0.5?ξ>120?，?
量，其取值为0,0.5.
8．下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．
(1)盒中装有6个白球和2个红球，从中任意取出3个球，其中所含白球的个数； (2)某同学离开自己学校的距离．
解析：(1)能用离散型随机变量表示．设所含白球的个数为X，则X的可能取值为1,2,3，X＝i表示取出i个白球，(3－i)个红球，其中i＝1,2,3.
(2)不能用离散型随机变量表示．
基础达标
一、选择题
1．将一个骰子掷两次，不能作为随机变量的是( ) A．两次掷出的点数之和 B．两次掷出的最大点数
C．第一次与第二次掷出的点数之差 D．两次掷出的点数
解析：将一个骰子掷两次，两次掷出的点数之和是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一个随机变量．同理，两次掷出的最大点数、第一次与第二次掷出的点数之差也都是随机变量，而两次掷出的点数不是一个变量．
答案：D
2．已知下列随机变量：
①10件产品中有2件次品，从中任选3件，取到次品的件数X；
②6张奖券中只有2张有奖，从这6张奖券中随机的抽取3张，用X表示抽到有奖的奖券张数；
③某运动员在一次110米跨栏比赛中的成绩X； ④在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数X. 其中X是离散型随机变量的是( ) A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．③④
解析：③中X的值可在某一区间内取值，不能一一列出，故不是离散型随机变量． 答案：C
3．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验的结果是( ) A．一枚是3点，一枚是1点 B．两枚都是2点 C．两枚都是4点
D．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点
解析：ξ＝4可能出现的结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点． 答案：D
4．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取到黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”的事件为( )
A．X＝4 B．X＝5 C．X＝6 D．X≤4
解析：第一次取到黑球，则放回1个红球；第二次取到黑球，则再放回1个红球……共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.
答案：C
5．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所取2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有( )
A．17个 B．18个 C．19个 D．20个
解析：从10支竹签中任取2支，竹签上的数字之和可以是3～19中的任意一个，共有17个．
答案：A
6．一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为( )
A．6 B．5 C．4 D．2
解析：由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余的钥匙一定能开锁，故选B. 答案：B
7．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是( )
A．25 B．10 C．15 D．9
解析：两个球的号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9个． 答案：D 二、填空题
8．下列变量中，不是随机变量的是________(填序号)． ①下一个交易日上证收盘指数； ②标准大气压下冰水混合物的温度；
③明日上课某班(共50人)请假同学的人数；
?1，小胡在线.?
④小马登录QQ找小胡聊天，设X＝?
??0，小胡不在线.
解析：根据随机变量的定义判断即可． 答案：②
9．一木箱中装有8个同样大小的篮球，分别编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个
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