2020高考数学一轮复习第4章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用学案

教学资料范本 2020高考数学一轮复习第4章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用学案 编 辑：__________________ 时 间：__________________ 1 / 15 【精品资料欢迎惠存】 【20xx最新】精选高考数学一轮复习第4章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用学案 板块一 知识梳理·自主学习 [必备知识] 考点1 数量积的有关概念1．两个非零向量a与b，过O点作＝a，＝b，则∠AOB＝θ，叫 做向量a与b的夹角；范围是0°≤θ≤180°. 2．a与b的夹角为90度时，叫a⊥b. 3．若a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ. 4．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. 5．a在b的方向上的投影为|a|cosθ.6．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，夹角为θ，则|a|＝， cosθ＝. a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. a∥b?x1y2－x2y1＝0. 考点2 数量积满足的运算律已知向量a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算 律： 1．a·b＝b·a. 2．(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． 3．(a＋b)·c＝a·c＋b·c.[必会结论] 1．设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a＝a·e＝ |a|cosθ；2．当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝ －|a||b|，特别地，a·a＝a2或|a|＝； 2 / 15 【精品资料欢迎惠存】 3．a·b≤|a||b|.[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积是一个向量．( ) (2)向量在另一个向量方向上的投影也是向量．( )(3)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b 的夹角为钝角．( ) (4)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( ) (5)(a·b)·c＝a·(b·c)．( ) (6)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)×2．[20xx·重庆模拟]已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝ (2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( ) A．－ B．0 C．3 D.152 答案 C解析 因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－ 3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.选C.3．[20xx·全国卷Ⅰ]已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2, |b|＝1，则|a＋2b|＝________. 答案 23 解析 解法一：|a＋2b|＝错误! ＝a2＋4a·b＋4b2 ＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12 ＝＝2.解法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.又∠AOB＝60°， 所以|a＋2b|＝2.4．[20xx·济南模拟]已知向量|b|＝3，a·b＝－12, 则向量a 在向量b方向上的投影是________． 3 / 15 【精品资料欢迎惠存】 答案 －4解析 因为向量|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向 上的投影是＝＝－4.5．[20xx·北京高考]已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b 夹角的大小为________．π 答案 6解析 a·b＝2，∴cos〈a，b〉＝＝＝，又〈a，b〉∈[0， π]，∴〈a，b〉＝.6．[课本改编]已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的 动点，则·的值为________；·的最大值为________． 答案 1 1解析 以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)．设E(1，a)(0≤a≤1)，所以·＝(1，a)·(1,0)＝1，·＝(1，a)·(0,1)＝a≤1.故·的最大 值为1.板块二 典例探究·考向突破 考向 平面向量数量积的运算 例 1 (1)[20xx·山东高考]已知非零向量m，n满足4|m|＝ 3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( ) A．4 B．－4 C. D．－94 答案 B解析 因为n⊥(tm＋n)，所以tm·n＋n2＝0，所以m·n＝－， 又4|m|＝3|n|，所以cos〈m，n〉＝＝＝－＝，所以t＝－4.故选B.(2)[20xx·北京高考]已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标 为(－2,0)，O为原点，则·的最大值为________． 答案 6解析 解法一：根据题意作出图象，如图所示，A(－2,0)， P(x，y)． 4 / 15 【精品资料欢迎惠存】