第1讲 空间几何体
空间几何体与三视图
1．三视图的排列规则
俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．
2．由三视图还原几何体的步骤
一般先由俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体．
[典例分析]
(1)下列结论正确的是( ) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
(2)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为( )
【解析】 (1)A.如图(1)所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，故A错误；B.如图(2)(3)所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥，故B错误；C.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由过中心和顶点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；D.根据圆锥母线的定义知，故D正确．故选D.
(2)
- 1 -
因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，几何体的直观图如图，是以正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为A.
【答案】 (1)D (2)A
(1)判断与几何体结构特征有关问题的技巧
把握几何体的结构特征，熟悉空间几何体性质，能够根据条件构建几何模型，从而判断命题的真假，有时也可通过反例对结构特征进行辨析．
(2)已知几何体识别三视图的技巧
已知几何体画三视图时，可先找出各个顶点在投影面上的投影，然后再确定线在投影面的实虚．
[针对练习]
1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：选C.由三视图知，该几何体是如图所示的四棱锥P-ABCD，易知四棱锥P-ABCD的四个侧面都是直角三角形，即此几何体各面中直角三角形的个数是4.
2．图①是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥A1-AB1D1后得到的几何体，将其绕着棱DD1所在的直线逆时针旋转45°，得到如图②所示的几何体，该几何体的正视图为( )
- 2 -
解析：选B.由题意可知，该几何体的正视图是长方形，底面对角线DB在正视图中的长为2，棱CC1在正视图中为虚线，D1A，B1A在正视图中为实线，故该几何体的正视图为B.
空间几何体的表面积与体积
1．柱体、锥体、台体的侧面积公式 (1)S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)； 1(2)S锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高)； 21(3)S台侧＝(c＋c′)h′(c′，c分别为上下底面的周长，h′为斜高)． 22．柱体、锥体、台体的体积公式 (1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)； 1(2)V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)； 31(3)V台＝(S＋SS′＋S′)h(S，S′分别为上下底面面积，h为高)(不要求记忆)． 3 [典例分析] (1)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”
称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm)是( )
3
- 3 -
A．158 B．162
C．182 D．324
(2)如图(1)，把棱长为1的正方体沿平面AB1D1和平面A1BC1截去部分后，得到如图(2)所示几何体，则该几何体的体积为( )
317A. B. 42421C. D. 3232(3)如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为________cm，表面积为________cm. 1【解析】 (1)由三视图可知，该几何体是一个直五棱柱，所以其体积V＝×(4×3＋22×3＋6×6)×6＝162.故选B. (2)把棱长为1的正方体沿平面AB1D1和平面A1BC1截去部分后，得到几何体的体积：V＝VABCD-A1B1C1D1－VA-A1B1D1－VB-A1B1C1＋VN-A1B1M 1?11?11?122?117??＝1×1×1－×?×1×1?×1－×?×1×1?×1＋×?××?×＝. 3?23?23?22??2?224 - 4 -
(3)由已知三视图得到几何体是一个底面直角边分别为3，4的直角三角形，高为5的三1棱柱，割去一个底面与三棱柱底面相同，高为3的三棱锥，所以该几何体的体积为：×32113×4×5－××3×4×3＝24 cm； 3211131112522表面积为：×(2＋5)×4＋×(2＋5)×3＋×3×4＋5×5＋×5＝＋3 cm. 222424【答案】 (1)B (2)B (3)24
(1)求解几何体的表面积及体积的技巧
①求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．
②求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．
(2)根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤 第一步：根据给出的三视图判断该几何体的形状． 第二步：由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量． 第三步：套用相应的面积公式与体积公式计算求解．
[针对练习]
1．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm)是( )
3
111253＋ 24 A.π＋1 2B.π＋3 2 - 5 -
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