设AB＝2，∠OAD＝θ(0<θ<π)，则P(0，0，3)， D(2sin θ，－1＋2cos θ，0)， 221??sin θ，cos θ－，0?， 所以Q?33??312→?2?所以QP＝?－sin θ，－cos θ，3?， 33?3?设α内与AB垂直的向量n＝(1，0，0)，PQ与l所成角为φ， ??→QP·n????则cos φ＝＝?|→??QP||n|????＝324??9－9cos θ?222－sin θ3＝8－cos θsin θ1－cosθ. 8－cos θ21－tt－16t＋1令t＝cos θ(－1 →→ 设Q(q，0，0)，AP＝λAB＝(0，λ，－λ)， →→→→→→ 则PQ＝CQ－CP＝CQ－(CA＋AP)＝(q，0，0)－(0，1，1)－(0，λ，－λ)＝(q，－1－λ，λ－1)， 因为直线PQ与AC成30°的角， →→|CA·PQ|2所以cos 30°＝＝ 222→→2·q＋（1＋λ）＋（λ－1）|CA|·|PQ|＝3＝， q2＋2λ2＋222822222所以q＋2λ＋2＝，所以q＝－2λ∈[0，4]， 332??3－2λ≥03→所以?，解得0≤λ≤，所以|AP|＝32??3－2λ≤4222λ∈?0，??6??， 3? - 46 - 所以线段PA长的取值范围是?0，故选B. 【答案】 (1)B (2)B ??6??. 3?用向量法解决立体几何中的最值问题，不仅简捷，更减少了思维量．用变量表示动点的坐标，然后依题意用向量法求其有关几何量，构建有关函数，从而用代数方法即可求其最值． [针对练习] 1．如图，棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为30°，则顶点C1到平面α的距离的最大值是( ) A．2(2＋2) C．2(3＋1) B．2(3＋2) D．2(2＋1) 解析：选B.如图所示，作C1O⊥α，交ABCD于O， 交α于E，由题得O在AC上，则C1E为所求，∠AOE＝30°， 由题意，设CO＝x，则AO＝42－x， C1O＝16＋x2，OE＝OA＝22－x， 12所以C1E＝16＋x＋22－x， 212令y＝16＋x＋22－x， 2则y′＝所以x＝14－＝0，可得x＝， 216＋x2343，顶点C1到平面α的距离的最大值是2(3＋2)． 1212x→→2．在正四面体P-ABC中，点M是棱PC的中点，点N是线段AB上一动点，且AN＝λAB， - 47 - 12设异面直线NM与AC所成角为α，当≤λ≤时，则cos α的取值范围是________． 33解析：设点P到平面ABC的射影为点O，以AO所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，过点O作BC的平行线为x轴，建立空间直角坐标 系，如图．设正四面体的棱长为43， 则有A(0，－4，0)，B(23，2，0)，C(－23，2，0)，P(0，0，42)，M(－3，1，22)． →→由AN＝λAB，得N(23λ，6λ－4，0)． →→从而有NM＝(－3－23λ，5－6λ，22)，AC＝(－23，6，0)． →→|NM·AC|3－2λ571所以cos α＝＝，设3－2λ＝t，则≤t≤.则cos α＝→→24λ2－4λ＋3332|NM||AC|t2＝t2－4t＋62答案：?11313519719，因为<≤≤，所以≤cos α≤. 37t5383821?1?6??－4·＋1?t?t?519719?，? 38??38专题强化训练 1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为CD和C1C的中点，则直线AE与D1F所成角的余弦值为( ) 1A. 33C. 52B. 53D. 7解析：选B.以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)．若棱长为2，则A(2，0，0)、E(0，1，0)、D1(0，0，2)、F(0，2，1)． →→所以EA＝(2，－1，0)，D1F＝(0，2，－1)， →→EA·D1F－22→→cos〈EA，D1F〉＝＝＝－. →→55·5|EA||D1F| - 48 - 2则直线AE与D1F所成角的余弦值为. 52．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( ) 1A. 2C.3 32B. 3D.2 2解析：选B.以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设棱1??长为1，则A1(0，0，1)，E?1，0，?， 2??D(0，1，0)， →所以A1D＝(0，1，－1)， A1E＝?1，0，－?， 2→??1??设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)， y－z＝0，??y＝2，??则?1所以? ?z＝2.1－z＝0，???2所以n1＝(1，2，2)． 因为平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)， 22所以cos〈n1，n2〉＝＝. 3×132即所成的锐二面角的余弦值为. 33．在三棱锥O-ABC中，已知OA，OB，OC两两垂直且相等，点P、Q分别是线段BC和OA上的动点，且满足BP≤BC，AQ≥AO，则PQ和OB所成角的余弦的取值范围是( ) A.?C.?1212?2?，1? ?2??325?，? 5??3B.?D.??3?，1? ?3??225?，? 5??2解析：选B.根据题意，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标→系，不妨设OA＝OB＝OC＝2，OB＝(2，0，0)，设 P(x，y，0)，Q(0，0，z)，因为BP≤BC，AQ≥AO，所以1≤x≤2，1212 - 49 - →??→OB·PQ→→→? 0≤y≤1且x＋y＝2，0≤z≤1，PQ＝(－x，x－2，z)，|cos〈OB，PQ〉|＝?→→??|OB?|·|PQ|?＝?－x??22?， ?2x－4x＋4＋z?3→→当x＝1，z＝1时，|cos〈OB，PQ〉|＝； 325→→当x＝2，z＝1时，|cos〈OB，PQ〉|＝； 5→→当x＝2，z＝0时，|cos〈OB，PQ〉|＝1. 2→→当x＝1，z＝0时，|cos〈OB，PQ〉|＝，结合四个选项可知PQ和OB所成角的余弦2的取值范围是??3?，1?. ?3?π4．在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1，已知G和E分别为A1B1和2CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)，若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为( ) A.?C.??5?，1? ?5??25?，1? ?5?1?B.?D.??5?，1? ?5??25?，1? ?5?解析：选A.建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，E?0，1，?，G?，0，1?，F(x，0，0)，D(0，y，0)， 22????1???由于GD⊥EF，所以x＋2y－1＝0， DF＝x＋y＝22?2?15?y－?＋， ?5?521由x＝1－2y>0，得y<， 221所以当y＝时，线段DF长度的最小值是， 55当y＝0时，线段DF长度的最大值是1而不包括端点，故y＝0不能取，故选A. 5．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1 与BC1所成角的余弦值为( ) A.3 2B.15 5- 50 -
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