→π|BC1·n|→所以sin ＝|cos〈BC1，n〉|＝. 6→|BC1|·|n|即1＝，解得h＝22. h2＋42313.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于一点O，∠BAD＝60°，将△BDC沿着BD折起得△BDC′，连接AC′.
(1)求证：平面AOC′⊥平面ABD；
(2)若点C′在平面ABD上的投影恰好是△ABD的重心，求直线CD与底面ADC′所成角的正弦值．
解：(1)证明：因为C′O⊥BD，AO⊥BD，C′O∩AO＝O，所以BD⊥平面C′OA，又因为
BD?平面ABD，所以平面AOC′⊥平面ABD.
(2)如图建系O-xyz，令AB＝a，则 A??3??1?a，0，0?，B?0，2a，0?， ??2???12??D?0，－a，0?， ?C′?6??3a，0，a?， 3??6312???→→?所以DC＝AB＝?－a，a，0?，平面ADC′的法向量为m＝?1，－3，?，设直线CD22??2??与底面ADC′所成角为θ，则 →|DC·m|3a6→sin θ＝|cos〈DC，m〉|＝＝＝， →33|DC||m|a·2故直线CD与底面ADC′所成角的正弦值为6. 314.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD，点E是PD的中点，点F是PC的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)若底面ABCD为正方形，探究在什么条件下，二面角C-AF-D的大小为60°？
解：易知AD，AB，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系
A-xyz，设AB＝2a，AD＝2b，AP＝2c，则A(0，0，0)，B(2a，0，0)，
C(2a，2b，0)，D(0，2b，0)， P(0，0，2c)．
- 56 -
设AC∩BD＝O，连接OE，则O(a, b，0)，又E是PD的中点，所以E(0，b，c)． →→
(1)证明：因为PB＝(2a，0，－2c)，EO＝(a，0，－c)， →→→→
所以PB＝2EO，所以PB∥EO，即PB∥EO. 因为PB?平面AEC，EO?平面AEC， 所以PB∥平面AEC.
(2)因为四边形ABCD为正方形，所以a＝b，A(0，0，0)，B(2a，0，0)，C(2a，2a，0)，
D(0，2a，0)，P(0，0，2c)，E(0，a，c)，F(a，a，c)，
→
因为z轴?平面CAF，所以设平面CAF的一个法向量为n＝(x，1，0)，而AC＝(2a，2a，0)，
→
所以AC·n＝2ax＋2a＝0，得x＝－1， 所以n＝(－1，1，0)．
→
因为y轴?平面DAF，所以设平面DAF的一个法向量为m＝(1，0，z)，而AF＝(a，a，
c)， a→所以AF·m＝a＋cz＝0，得z＝－， c所以m＝(1，0，－)∥m′＝(c，0，－a)． |n·m′|c1cos 60°＝＝＝，得a＝c. 22|n||m′|22（a＋c）故当AP与正方形ABCD的边长相等时，二面角C-AF-D的大小为60°.
ac - 57 -
高考解答题的审题与答题示范
立体几何类解答题
[思维流程]——立体几何问题重在“建”——建模、建系
[审题方法]——审图形
图形或者图象的力量比文字更为简洁而有力，挖掘其中蕴含的有效信息，正确理解问题是解决问题的关键．对图形或者图象的独特理解很多时候能成为问题解决中的亮点．
典例 (本题满分15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°. (1)证明：平面PAB⊥平面PAD； (2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A-PB-C的余弦值. 审题路线 标准答案 阅卷现场 - 58 -
(1)由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD. 由于AB∥CD，故AB⊥PD，又PD∩PA＝P，PD，PA?平面 得分点①3 第(1)问 ② 1 5分 第(2)问 ③ 1 ④⑤⑥⑦⑧⑨221122
10分 PAD， 所以AB⊥平面PAD.① 又AB?平面PAB，② 所以平面PAB⊥平面PAD垂直模型．③ 第(1)问踩点得分说明 ①证得AB⊥平面PAD得3分，直接写出不得分； (2)在平面PAD内作②写出AB?平面PAB得1分，此步没有扣1分； ③写出结论平面PAB⊥平面PAD得1分. 第(2)问踩点得分说明 ④正确建立空间直角坐标系得2分； ⑤写出相应的坐标及向量得2分(酌情)； ⑥正确求出平面PCB的一个法向量得1分，错误不得分； ⑦正确求出平面PAB的一个法向量得1分，错误不得分； ⑧写出公式cos〈n，m〉＝再得1分； ⑨判断二面角的大小得1分，写出正确结果得1分，不写不得分. PF⊥AD，垂足为点F，AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，可得PF⊥平面ABCD.以F为坐标原点，→FA的方向为x轴正方向，|AB|为单位长度，建立空间直角坐标系．④ 由(1)及已知可得→n·m得1分，正确求出值|n||m|A?2??2??，0，0?，P?0，0，?，2??2???2?B?，1，0?，?2?C?－??2?→，1，0?.所以PC＝2?22?→?CB＝(2，?－，1，－?，2??22?→?20，0)，PA＝?，0，－?，2??2→AB＝(0，1，0)．⑤ - 59 -
设n＝(x，y，z)是平面→??n·PC＝0，PCB的法向量，则?→??n·CB＝0，22??－x＋y－z＝0，2即?2可??2x＝0，取n＝(0，－1，－2)．⑥ 设m＝(x′，y′，z′)是平面PAB的法向量，则 →??m·PA＝0，即?→??m·AB＝0，??2x′－2z′＝0，2可取m?2??y′＝0，＝(1，0，1)．⑦ 则cos〈n，m〉＝－3，⑧ 3由图知二面角A-PB-C为钝二面角， 所以二面角A-PB-C的余弦值为－
3.⑨ 3n·m＝|n||m| - 60 -
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