当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) ?23??0，? 3?? 23 30 极大值 ?23??，2? ?3? f(x) 单调递增 单调递减 23由上表易知，当PA＝x＝时，VA′-PBCD取最大值． 3(2)证明：取A′B的中点F，连接EF，FP. 1由已知，得EF綊BC綊PD. 2所以四边形EFPD是平行四边形， 所以ED∥FP.
因为△A′PB为等腰直角三角形， 所以A′B⊥PF.所以A′B⊥DE.
- 16 -
第2讲 空间点、线、面的位置关系
空间线面位置关系的判断
空间线面位置关系判断的常用方法
(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题； (2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．
[典例分析]
(1)已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，l为空间一直线，则“l垂直于两腰AD，
BC”是“l垂直于两底AB，CD”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. ③如果α∥β，m?α，那么m∥β.
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等． 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)
【解析】 (1)四边形ABCD为梯形，AB∥CD，l为空间一直线，则“l垂直于两腰AD，
BC”，又AD与BC相交，
所以l⊥平面ABCD?l垂直于两底AB，CD，反之不一定成立．
所以“l垂直于两腰AD，BC”是“l垂直于两底AB，CD”的充分不必要条件．故选A. (2)对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：
如图，不妨设AA′为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为α，
ABC′D′所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立．
命题②正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面α相交于直线
l，则l∥n，由m⊥α知m⊥l，从而m⊥n，结论正确．
- 17 -
由平面与平面平行的定义知命题③正确． 由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确． 【答案】 (1)A (2)②③④
判断与空间位置关系有关的命题真假的方法
(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断．
(2)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断．
(3)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定．
[针对练习]
1．已知直线m、n与平面α，β，下列命题正确的是( ) A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n∥β且α⊥β，则m⊥n C．α∩β＝m，m⊥n且α⊥β，则n⊥α D．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n
解析：选D.选项A中，直线m与n还有互为异面的可能；选项B中，直线m与n还有相互平行的可能；选项C中，还有n?α的可能；选项D正确，故选D.
2．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A、D分别是BF、CE上的点，
AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF(如图1)．将四边形ADEF沿AD折起，连接AC、CF、BE、BF、CE(如图2)，在折起的过程中，下列说法错误的是( )
A．AC∥平面BEF
B．B、C、E、F四点不可能共面 C．若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD D．平面BCE与平面BEF可能垂直
解析：选D.法一：A选项，连接BD，交AC于点O，取BE的中点M，连接OM，FM，易证四边形AOMF是平行四边形，所以AO∥FM，因为FM?平面BEF，AC?平面BEF，所以AC∥平面BEF；B选项，若B、C、E、F四
- 18 -
点共面，因为BC∥AD，所以BC∥平面ADEF，可推出BC∥EF，又BC∥AD，所以AD∥EF，矛盾；C选项，连接FD，在平面ADEF内，易得EF⊥FD，又EF⊥CF，FD∩CF＝F，所以EF⊥平面CDF，所以EF⊥CD，又CD⊥AD，EF与AD相交，所以CD⊥平面ADEF，所以平面ADEF⊥平面ABCD；D选项，延长AF至G，使AF＝FG，连接BG、EG，易得平面BCE⊥平面ABF，过F作FN⊥BG于N，则FN⊥平面BCE，若平面BCE⊥平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾．综上，选D.
法二：构造正方体如图，结合正方体的性质知平面BCE与平面BEF不可能垂直．
空间平行、垂直关系的证明及求空间角
1．直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b. (3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，
b∥α?α∥β.
(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b. 2．直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α?a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β.
(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l? a⊥β. 3．空间角 ?π?(1)异面直线所成的角，范围α∈?0，?. 2??(2)直线与平面所成的角：如图l∩α＝A，P∈l，过点P作PO⊥α交α于O，连接AO，则∠PAO为直线l与平面α所成的角，范围θ∈?0，?. 2??π??(3)二面角 如图，过二面角α-l-β的棱l上一点O在两个半平面内分别作BO⊥l，
AO⊥l，则∠AOB就叫做二面角α-l-β的平面角，范围θ∈[0，π]．当θ＝时，二面角叫做直二面角． [典例分析]
- 19 -
π2 (1)设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端
点)．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P-AC-B的平面角为γ，则( )
A．β<γ，α<γ C．β<α，γ<α
B．β<α，β<γ D．α<β，γ<β
(2)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，
A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．
①证明：EF⊥BC；
②求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．
【解】 (1)选B.由题意，不妨设该三棱锥的侧棱长与底面边长相等，因为点P是棱VA上的点(不含端点)，所以直线PB与平面ABC所成的角β小于直线VB与平面ABC所成的角，而直线VB与平面ABC所成的角小于二面角P-AC-B的平面角γ，所以β<γ；因为AC?平面ABC，所以直线PB与直线AC所成的角α大于直线PB与平面ABC所成的角β，即α>β.故选B.
(2)法一：①证明：如图，连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E?平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面
ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC.
又因为A1F∥AB，∠ABC＝90°，故BC⊥A1F. 所以BC⊥平面A1EF. 因此EF⊥BC.
②取BC的中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形． 由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形． 连接A1G交EF于O，由①得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1， 所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上． 则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角)． 不妨设AC＝4，则在Rt△A1EG中，A1E＝23，EG＝3. - 20 -
相关推荐：
loading