由于O为A1G的中点，故EO＝OG＝A1G2＝15， 2EO2＋OG2－EG23所以cos∠EOG＝＝. 2EO·OG53因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是. 5法二：①连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点， 所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E?平面A1ACC1， 平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC.
如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E-xyz.
不妨设AC＝4，则A1(0，0，23)， B(3，1，0)， B1(3，3，23)，F(C(0，2，0)． 33，，23)， 22?→→?33因此，EF＝?，，23?，BC＝(－3，1，0)． ?22?→→由EF·BC＝0得EF⊥BC. ②设直线EF与平面A1BC所成角为θ. →→由①可得BC＝(－3，1，0)，A1C＝(0，2，－23)． 设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)． →??BC·n＝0，?－3x＋y＝0，由?得? →??A1C·n＝0，?y－3z＝0.取n＝(1，3，1)，故 →|EF·n|4→sin θ＝|cos〈EF，n〉|＝＝. →5|EF|·|n|3因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为. 5
(1)平行关系及垂直关系的转化
空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．
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(2)求空间角的三个步骤
①一作：根据定义作平行线或垂线，用作图法作出要求的角． ②二证：证明所作的角就是要求的角．
③三求：把空间角问题转化为(三角形)平面问题，解三角形，求出该角，注意角的范围，判断所求角是此角还是它的补角．
[针对练习]
1.如图，AB＝BE＝BC＝2AD＝2，且AB⊥BE，∠DAB＝60°，AD∥BC，
BE⊥AD，
(1)求证：平面ADE⊥平面BDE；
(2)求直线AD与平面DCE所成角的正弦值． 解：(1)证明：因为AB＝2AD，∠DAB＝60°， 所以AD⊥DB，
又BE⊥AD，且BD∩BE＝B，
所以AD⊥平面BDE，又AD?平面ADE， 所以平面ADE⊥平面BDE.
(2)因为BE⊥AD，AB⊥BE，所以BE⊥平面ABCD， 所以点E到平面ABCD的距离就是线段BE的长为2， 设AD与平面DCE所成角为θ，点A到平面DCE的距离为d， 1130由VA-DCE＝VE-ADC得：×d×S△CDE＝×|BE|×S△ACD，可解得d＝，而AD＝1，则sin θ3310＝＝dAD30， 1030. 10故直线AD与平面DCE所成角的正弦值为2．如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB＝2，AD＝23，∠BAD＝90°. - 22 -
(1)求证：AD⊥BC；
(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值．
解：(1)证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AD⊥AB，AD?平面ABD，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC.
(2)如图，取棱AC的中点N，连接MN，ND.又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角．
在Rt△DAM中，AM＝1，故DM＝AD＋AM＝13.因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC.在Rt△DAN中，AN＝1，故DN＝AD＋AN＝13. 在等腰三角形DMN中，MN＝1， 1MN213可得cos∠DMN＝＝. DM26所以异面直线BC与MD所成角的余弦值为13. 26
空间几何中的“ 翻折”问题
[核心提炼]
由平面图形“翻折”为空间图形，要求解(证明)该空间图形中的某些元素所对应的量或对应的位置关系，首先看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程理清翻折前后位置关系中没有变化的量是哪些，发生变化的量是哪些，这些不变的量和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征，求解问题时要综合考虑翻折前后的图形．
[典例分析]
(1)如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝5，∠ADC＝90°.沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是__________．
2222 - 23 -
(2)如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，E为BC的中点，F为线段AD上的一点，且AF＝.现将四边形ABEF沿直线EF翻折，使翻折后的二面角A′-EF-C的余弦值为. 3223 ①求证：A′C⊥EF；
②求直线A′D与平面ECDF所成角的大小．
【解】 (1)作BE∥AC，BE＝AC，连接D′E，则∠D′BE为所求的角或其补角，作D′N⊥AC于点N，设M为AC的中点，连接BM，则BM⊥AC，作NF∥BM交BE于F，连接D′F，设∠D′NF＝θ，因为D′N＝530＝，BM＝FN＝661530252＝，所以D′F＝－5cos θ，因为2236，所以在Rt△D′FB3AC⊥D′N，AC⊥FN，所以D′F⊥AC，所以D′F⊥BE，又BF＝MN＝63中，D′B＝9－5cos θ，所以cos ∠D′BE＝6. 62BF6＝≤，当且仅当θ＝0°D′B9－5cos θ6时取“＝”．故填(2)①证明：连接AC交EF于M点，由平面几何知识可得AC＝5， EF＝5， 2AMFM3352535以及＝＝，则有AM＝，MC＝，MF＝， MCME25510故有AM＋MF＝AF，则AC⊥EF， 于是，A′M⊥EF，CM⊥EF，
而A′M∩CM＝M，故EF⊥平面A′MC， 而A′C?平面A′MC，故A′C⊥EF.
②由①知，二面角A′-EF-C的平面角就是∠A′MC，
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2222即cos∠A′MC＝， 3根据余弦定理，可求得A′C＝1， 因为A′C＋MC＝A′M，所以A′C⊥MC， 而A′C⊥EF，可知A′C⊥平面ECDF，
因此，∠A′DC就是直线A′D与平面ECDF所成的角． 由于A′C＝CD＝1， π故直线A′D与平面ECDF所成的角为. 42
2
2
解决与翻折有关的问题的两个关键
(1)要明确翻折前后的变化量和不变量．一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化．
(2)在解决问题时，要比较翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形．
[针对练习]
1.如图，四边形ABCD是矩形，沿直线BD将△ABD翻折成△A′BD，异面直线CD与A′B所成的角为α，则( )
A．α<∠A′CA C．α<∠A′CD
B．α>∠A′CA D．α>∠A′CD
解析：选B.因为AB∥CD，所以∠A′BA为异面直线CD与A′B所成的角．
假设AB＝BC＝1，平面A′BD⊥平面ABCD. 连接AC交BD于点O，连接A′A，A′C，A′O， 则A′O⊥平面ABCD， A′O＝AO＝BO＝CO＝DO＝AC＝122， 2所以A′A＝A′C＝A′B＝A′D＝1， 所以△A′BA，△A′CD是等边三角形， △A′CA是等腰直角三角形，
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