所以∠A′CA＝45°， ∠A′CD＝∠A′BA＝60°， 即α>∠A′CA，α＝∠A′CD. 排除A，C，D.故选B.
2．如图1，E，F分别是AC，AB的中点，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，沿着EF将△AEF折起，记二面角A-EF-C的度数为θ.
(1)当θ＝90°时，即得到图2，求二面角A-BF-C的余弦值； (2)如图3中，若AB⊥CF，求cos θ的值．
解：(1)因为平面AEF⊥平面CEFB，且EF⊥AE， 所以AE⊥平面CEFB，
过点E向BF作垂线交BF延长线于H，连接AH， 则∠AHE为二面角A-BF-C的平面角． 设BC＝2a，则EF＝a，AB＝4a，AC＝23a， AE＝3a，EH＝3a， 23a23223a＋a4所以cos ∠AHE＝＝EHAH＝5， 5所以二面角A-BF-C的余弦值为5. 5(2)过点A向CE作垂线，垂足为G，连接GB，CF. 如果AB⊥CF，
则根据三垂线定理有GB⊥CF， 因为△BCF为正三角形， 233所以CG＝BCtan 30°＝a，则GE＝a， 33因为AE＝3a，所以cos θ＝1所以cos θ的值为. 3专题强化训练
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GE1＝， AE31．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“a⊥b”是“α⊥β”的( )
A．充分不必要条件 C．充分必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.因为α⊥β，b⊥m，所以b⊥α，又直线a在平面α内，所以a⊥b；又直线a，m不一定相交，所以“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B.
2．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
解析：选A.B选项中，AB∥MQ，且AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，则AB∥平面MNQ；C选项中，AB∥MQ，且AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，则AB∥平面MNQ；D选项中，AB∥NQ，且
AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，则AB∥平面MNQ.故选A.
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( ) A．A1E⊥DC1 C．A1E⊥BC1
B．A1E⊥BD D．A1E⊥AC
解析：选C.A1B1⊥平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1，又BC1⊥B1C，且B1C∩A1B1＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E?平面A1B1CD，所以BC1⊥A1E.故选C.
4．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( ) A．若AC与BD共面，则AD与BC共面
B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线 C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC
解析：选C.A中，若AC与BD共面，则A，B，C，D四点共面，则AD与BC共面；B中，若AC与BD是异面直线，则A，B，C，D四点不共面，则AD与BC是异面直线；C中，若AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC；D中，若AB＝AC，DB＝DC，可以证明AD⊥BC.
5．棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，点P，Q分别为平面A1B1C1D1
和线段B1C上的动点，则△PEQ周长的最小值为( )
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A．22 C.11 B.10 D．23 解析：选B.由题意，△PEQ周长取得最小值时，P在B1C1上，在平面B1C1CB上，设E关于B1C的对称点为M，关于B1C1的对称点为N，则EM＝2，EN＝2，∠MEN＝135°， 所以MN＝4＋2－2×2×2×?－??2??＝10. 2?6.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点P在平面A1B1C1内运动，使得二面角P-AB-C的平面角与二面角P-BC-A的平面角互余，则点P的运动轨迹是( )
A．一段圆弧 B．椭圆的一部分 C．抛物线 D．双曲线的一支
解析：选D.不妨令三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，且底面是以B为直角的直角三角形，令侧棱长为m，以B为坐标原点，BA方向为x轴，BC方向为y轴，BB1方向为z轴，建立空间直角坐标系，
设P(x，y，m)，所以Q(x，y，0)，过点Q作以QD⊥AB于点D，作QE⊥BC于点E， 则∠PDQ即是二面角P-AB-C的平面角，∠PEQ即是二面角P-BC-A的平面角， 所以tan∠PDQ＝，tan∠PEQ＝， 又二面角P-AB-C的平面角与二面角P-BC-A的平面角互余，所以tan∠PDQ·tan∠PEQ＝1，即·PQDQPQEQPQPQ22＝1，所以QD·QE＝PQ＝m，因Q(x，y，0)，所以QE＝x，QD＝y， DQEQ2m2所以有xy＝m，所以y＝(x>0)，即点Q的轨迹是双曲线的一支，所以点P的轨迹是双x曲线的一支．故选D. π7．已知三棱锥A-BCD的所有棱长都相等，若AB与平面α所成角等于，则平面ACD3与平面α所成角的正弦值的取值范围是( ) A.??3－63＋6?，? 6??6B.??3－6?，1? ?6? - 28 -
C.?323??2－，＋? 626??2D.?3??2－，1? 6?2?解析：选A.因为三棱锥A-BCD的所有棱长都相等， 所以三棱锥A-BCD为正四面体，如图：
设正四面体的棱长为2，取CD中点P，连接AP，BP， 则∠BAP为AB与平面ADC所成角． AP＝BP＝3，可得cos∠BAP＝设∠BAP＝θ. 36，sin∠BAP＝. 33当CD与α平行且AB在平面ACD上面时，平面ACD与平面α所成角的正弦值最小，为ππ33163－6?π?sin?－θ?＝sincos θ－cossin θ＝×－×＝； 3323236?3?当CD与α平行且AB在平面ACD下面时，平面ACD与平面α所成角的正弦值最大，为ππ33163＋6?π?sin?＋θ?＝sincos θ＋cossin θ＝×＋×＝，所以平面ACD与平3323236?3?面α所成角的正弦值的取值范围是??3－63＋6?，?.故选A. 6??68． 已知直角三角形ABC的两条直角边AC＝2，BC＝3，P为斜边AB上一点，沿CP将此三角形折成直二面角A-CP-B，此时二面角P-AC-B的正切值为2，则翻折后AB的长为( ) A．2 B.5 C.6 D.7 解析：选D.如图，在平面PCB内过P作直二面角A-CP-B的棱CP的垂线交边BC于E, 则EP⊥平面ACP.
于是在平面PAC中过P作二面角P-AC-B的棱AC的垂线，垂足为D，连接DE，则∠PDE为二面角P-AC-B的平面角，且tan∠PDE＝＝2，设DP＝a，则EP＝2EPPDa. 如图，设∠BCP＝α，则∠ACP＝90°－α，则在直角三角形DPC中，PC＝则＝，又在直角三角形PCE中，tan α＝，sin（90°－α）cos αPCaaPEacos α·tan α＝2a，sin α＝2cosα，所以α＝45°，因为二2AC2＋BC2－AB2面角A-CP-B为直二面角，所以cos∠ACB＝cos∠ACP·cos∠BCP，于是＝cos2·AC·BC1∠ACP·sin∠ACP＝，解得AB＝7. 2 - 29 -
9． 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，
PD＝AD＝DC＝2AB，则异面直线PC与AB所成角的大小为________；直线PB与平面PDC所成角的正弦值为________．
解析：因为AB∥CD，所以∠PCD即为异面直线PC与AB所成的角，显π然三角形PDC为等腰直角三角形，所以∠PCD＝.设AB＝1，则可计算得，PB＝3，而点B4d2到平面PDC的距离d等于AD的长为2，所以直线PB与平面PDC所成角的正弦值为＝. PB3π2答案： 4310.如图，在三棱锥A-BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．
解析：如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK. 因为 M为AD的中点，所以MK∥AN， 所以∠KMC即为异面直线AN，CM所成的角． 因为 AB＝AC＝BD＝CD＝3，
AD＝BC＝2，N为BC的中点，
由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝22， 所以MK＝2. 在Rt△CKN中，CK＝ （2）＋1＝3. 在△CKM中，由余弦定理，得 （2）＋（22）－（3）7cos∠KMC＝＝. 82×2×227答案： 811.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且22222AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平
面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是________．
解析：对于①，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.因为AB为⊙O的直
径，所以BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，又PC?平面PAC，所以BC⊥PC；对于②，因为点M为线段PB的中点，所以OM∥PA，因为PA?平面PAC，所以OM∥平面PAC；对于③，由①知
BC⊥平面PAC，所以线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．
答案：①②③
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