π12.在△ABC中，∠ABC＝，边BC在平面α内，顶点A在平面α3外，直线AB与平面α所成角为θ.若平面ABC与平面α所成的二面角π为，则sin θ＝________． 3解析：过A作AO⊥α，垂足是O，过O作OD⊥BC，交BC于D，连接AD，
则AD⊥BC，所以∠ADO是平面ABC与平面α所成的二面角，即∠ADOπ＝，∠ABO是直线AB与平面α所成的角，即∠ABO＝θ， 3设AO＝3， 所以AD＝2，在Rt△ADB中， π243∠ABD＝，所以AB＝＝， 3π3sin3AO33所以sin θ＝＝＝. AB43433答案： 413． 如图，已知正四面体D-ABC，P为线段AB上的动点(端点除外)，则二面角D-PC-B的平面角的余弦值的取值范围是________．
解析：当点P从A运动到B，二面角D-PC-B的平面角逐渐增大，二面角D-PC-B的平面角最小趋近于二面角D-AC-B的平面角，最大趋近于二面?11?角D-BC-A的平面角的补角，故余弦值的取值范围是?－，?. ?33??11?答案：?－，? ?33?14.如图，边长为2的正△ABC顶点A在平面γ上，B，C在平面γ的同侧，M为BC的中点，若△ABC在平面γ上的射影是以A为直角顶点的△AB1C1，则M到平面γ的距离的取值范围是________．
解析：设∠BAB1＝α，∠CAC1＝β，则AB1＝2cos α，AC1＝2cos
β，BB1＝2sin α，CC1＝2sin β，则点M到平面γ的距离d＝sin α＋sin β，又AM＝3，则B1C1＝23－d，即cosα＋cosβ＝3－(sinα＋2sin αsin β＋sinβ)．也即sin α113sin β＝，所以d＝sin α＋sin β＝sin α＋≥2，当sin α＝1时，d＝，则22sin α222222 - 31 -
32≤d<. 23??答案：?2，? 2??15． 三棱锥A-BCD中，E是BC的中点，AB＝AD，BD⊥DC. (1)求证：AE⊥BD；
(2)若DB＝2DC＝2AB＝2，且二面角A-BD-C为60°，求AD与平面BCD所成角的正弦值．
解：(1)证明：如图，取BD的中点F，连接EF，AF， 因为E为BC中点，F为BD中点，所以FE∥DC. 又BD⊥DC，所以BD⊥FE. 因为AB＝AD，所以BD⊥AF. 又AF∩FE＝F，AF，FE?平面AFE， 所以BD⊥平面AFE，又AE?平面AFE， 所以AE⊥BD.
(2)由(1)知BD⊥AF，BD⊥EF
所以∠AFE即为二面角A-BD-C的平面角， 所以∠AFE＝60°.因为AB＝AD＝2，BD＝2， 1所以△ABD为等腰直角三角形，故AF＝BD＝1， 211又FE＝DC＝， 221133222所以AE＝AF＋FE－2AF·FE·cos∠AFE＝1＋－2×1××cos 60°＝，即AE＝， 4242所以AE＋FE＝1＝AF，所以AE⊥FE， 又由(1)知BD⊥AE，且BD∩FE＝F，BD?平面BDC，FE?平面BDC， 所以AE⊥平面BDC，
所以∠ADE就是AD与平面BCD所成角， 在Rt△AED中，AE＝3，AD＝2， 2222所以AD与平面BCD所成角的正弦值 sin∠ADE＝＝AEAD6. 416． 如图，在四棱锥E-ABCD中，平面CDE⊥平面ABCD，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AD＝ED＝3，EC＝2.
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(1)证明：AB⊥平面BCE；
(2)求直线AE与平面CDE所成角的正弦值． 解：(1)证明：因为∠DAB＝∠ABC＝90°， 所以四边形ABCD是直角梯形， 因为AB＝BC＝1，AD＝ED＝3，EC＝2. 所以CD＝1＋（3－1）＝5， 所以CE＋DC＝DE，所以EC⊥CD，
因为平面EDC⊥平面ABCD，平面EDC∩平面ABCD＝DC， 所以CE⊥平面ABCD，
所以CE⊥AB，又AB⊥BC，BC∩CE＝C， 所以AB⊥平面BCE.
(2)过A作AH⊥DC，交DC于H， 则AH⊥平面DCE，连接EH，
则∠AEH是直线AE与平面DCE所成的角， 1AD＋BC1因为×DC×AH＝×AB－×AB×BC， 22211×（3＋1）×1－×1×12235所以AH＝＝， 15×522
2
2
22AE＝AB2＋（CE2＋BC2）＝6， 所以sin∠AEH＝30， 1030. 10所以直线AE与平面CDE所成角的正弦值为17． 四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，四边形ABCE为菱形，∠BAD＝120°，PA＝AB，G、F分别是线段CE、PB的中点．
(1)求证：FG∥平面PDC； (2)求二面角F-CD-G的正切值． 解：(1)证明：延长BG交AD于点D， PFCG1因为＝＝， PBCE2CGBG1BFBG1而＝＝，所以＝＝， CEBD2PBBD2所以FG∥PD.因为FG?平面PDC，PD?平面PDC，
- 33 -
所以FG∥平面PDC.
(2)过点F作FM⊥AB于点M，易知FM⊥平面ABCD， 过M作MN⊥CD于点N，连接FN，则CD⊥平面FMN， 所以CD⊥MN，CD⊥FN，
所以∠FNM即为所求二面角的平面角， 13不妨令PA＝AB＝1，则FM＝，MN＝， 242所以tan α＝. 318． 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝1，DA＝2，DP⊥平面ABP，O，M分别是AD，PB的中
点．
(1)求证：PD∥平面OCM；
(2)若AP与平面PBD所成的角为60°，求线段PB的长． 解：(1)证明：设BD交OC于N，连接MN，OB， 因为O为AD的中点，AD＝2，所以OA＝OD＝1＝BC. 又因为AD∥BC，所以四边形OBCD为平行四边形，所以N为BD的中点，因为M为PB的中点，所以MN∥PD.
又因为MN?平面OCM，PD?平面OCM， 所以PD∥平面OCM.
(2)由四边形OBCD为平行四边形，知OB＝CD＝1， 所以△AOB为等边三角形，所以∠A＝60°， 所以BD＝即AB⊥BD. 因为DP⊥平面ABP，所以AB⊥PD. 又因为BD∩PD＝D，所以AB⊥平面BDP，
所以∠APB为AP与平面PBD所成的角，即∠APB＝60°， 所以PB＝
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12221＋4－2×1×2×＝3，即AB＋BD＝AD， 23. 3
第3讲 空间向量与立体几何
利用空间向量证明平行、垂直及求空间角
1．利用直线的方向向量与平面的法向量证明空间平行、垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α、β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，
υ＝(a3，b3，c3)，则有：
(1)线面平行
l∥α?a⊥μ?a·μ＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(2)线面垂直
l⊥α?a∥μ?a＝kμ?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.
(3)面面平行
α∥β?μ∥υ?μ＝λυ?a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.
(4)面面垂直
α⊥β?μ⊥υ?μ·υ＝0?a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.
2．利用直线的方向向量与平面的法向量求空间角
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，υ＝(a4，b4，c4)(以下相同)．
(1)线线夹角 π??设l，m的夹角为θ?0≤θ≤?，则 2??|a·b|cos θ＝＝|a1a2＋b1b2＋c1c2|2222a2a21＋b1＋c12＋b2＋c2|a||b|. (2)线面夹角 π??设直线l与平面α的夹角为θ?0≤θ≤?， 2??则sin θ＝
|a·μ|＝|cos〈a，μ〉|. |a||μ|- 35 -
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