AB＝AC＝AE＝2，
所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，2，1)，E(0，0，2)， 1??因为M是BD中点，所以M?1，1，?， 2??1?→→?所以AE＝(0，0，2)，AM＝?1，1，?， 2??→BC＝(－2，2，0)， →→→→
所以AE·BC＝0，AM·BC＝0， 所以AE⊥BC，AM⊥BC，
又AM?平面AME，AE?平面AME，AE∩AM＝A， 所以BC⊥平面AME.
→→→
(2)由(1)得，BD＝(－2，2，1)，AC＝(0，2，0)，AB＝(2，0，0)，
→→→→→
设BM＝λBD＝(－2λ，2λ，λ)(0<λ<1)，则AM＝AB＋BM＝(2－2λ，2λ，λ)， 设平面AMC的法向量为n＝(x，y，z)， →??n·AC＝0则?， →??n·AM＝0?2??2y＝0?所以?，令x＝1得n＝?1，0，2－?， λ???（2－2λ）x＋2λy＋zλ＝0?→BD·n→所以cos〈BD，n〉＝＝－→|BD||n|3× 2＝－， 235λ－8λ＋4令2λ1＋?2－?λ??2?2 ?3922＝sin 60°＝，得5λ－8λ＋＝0， 222735λ－8λ＋492272Δ＝64－4×5×<0，所以方程无解， 所以BD上不存在点M，使得直线BD与平面AMC所成的角为60°.
利用空间向量巧解探索性问题
(1)空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．
(2)解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转
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化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．
[针对练习]
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝AD＝2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD且BC＝4，点M为PC的中点，点E为BC边上的动点，且＝λ. (1)求证：平面ADM⊥平面PBC； (2)是否存在实数λ，使得二面角P-DE-B的余弦值为若不存在，说明理由． 解：(1)证明：取PB的中点N，连接MN、AN， 1因为M是PC的中点，所以MN∥BC，MN＝BC＝2， 2又BC∥AD，所以MN∥AD，MN＝AD， 所以四边形ADMN为平行四边形，
因为AP⊥AD，AB⊥AD，所以AD⊥平面PAB， 所以AD⊥AN，所以AN⊥MN，
因为AP＝AB，所以AN⊥PB，所以AN⊥平面PBC， 因为AN?平面ADM，所以平面ADM⊥平面PBC. (2)法一：存在实数λ＝1，使得二面角P－DE－B的余弦值为因为λ＝1， 所以点E为BC边的中点， 所以DE∥AB， 所以DE⊥平面PAD，
所以∠PDA为二面角P－DE－B的一个平面角． 在等腰Rt△PDA中，∠PDA＝π， 42. 22. 22？若存在，试求出实数λ的值；2BEEC所以二面角P－DE－B的余弦值为法二：存在符合条件的λ. 以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz. 设E(2，t，0)，P(0，0，2)，D(0，2，0)，B(2，0，0)， →→
从而PD＝(0，2，－2)，DE＝(2，t－2，0)，
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设平面PDE的法向量为n1＝(x，y，z)， →???n1·PD＝0?2y－2z＝0
则?，即?，
?→2x＋（t－2）y＝0???n1·DE＝0令y＝z＝2，解得x＝2－t， 所以n1＝(2－t，2，2)，
又平面DEB即为平面xAy，故其一个法向量为n2＝(0，0，1)， |n1·n2|22则|cos〈n1，n2〉|＝＝＝， 2|n1|·|n2|2（2－t）＋4＋4解得t＝2，可知λ＝1.
立体几何中的动态问题
立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的范围等；求解方法一般根据圆锥曲线的定义判断动点轨迹是什么样的曲线；利用空间向量的坐标运算求轨迹的长度等．
[典例分析]
(1) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M、N分别是直线CD、
AB上的动点，点P是△A1C1D内的动点(不包括边界)，记直线D1P与MN所成角为θ，若θ的最小值为，则点P的轨迹是( ) A．圆的一部分 C．抛物线的一部分
B．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分
π3(2)已知平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，CD⊥AD，且AB＝1，AD＝CD＝2.ADEF是正方形，在正方形ADEF内部有一点M，满足MB，MC与平面ADEF所成的角相等，则点M的轨迹长度为( ) 4A. 34C.π 9B.16 38D.π 3【解析】 (1)把MN平移到平面A1B1C1D1中，直线D1P与MN所成角为θ，直线D1P与MN所成角的最小值是直线D1P与平面A1B1C1D1所成角，π即原问题转化为：直线D1P与平面A1B1C1D1所成角为，点P在平面A1B1C1D13 - 43 -
的投影为圆的一部分，
因为点P是△A1C1D内的动点(不包括边界)， 所以点P的轨迹是椭圆的一部分．故选B.
(2)根据题意，以D为原点，分别以DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，如图1所示，则B(2，1，0)，C(0，2，0)，设M(x，0，z)，易知直线MB，
MC与平面ADEF所成的角分别为∠AMB，∠DMC，均为锐角，且∠AMB＝∠DMC，所以sin∠AMB＝sin∠DMC?2ABCD?8?222222＝，即2MB＝MC，因此2（2－x）＋1＋z＝x＋2＋z，整理得?x－?MBMC?3?16?8?2＋z＝，由此可得，点M在正方形ADEF内的轨迹是以点O?，0，0?为圆心， 9?3?4ππ44半径为的圆弧M1M2，如图2所示，易知圆心角∠M1OM2＝，所以lM1M2＝×＝π.33339故选C.
【答案】 (1)B (2)C
求解立体几何中的轨迹问题时，首先要探究点的轨迹的形成过程，同时还要注意动点的性质以及点、线、面之间的位置关系，若动点的性质满足解析几何中圆锥曲线的定义，也可借助定义求出轨迹．
[针对练习]
在等腰直角△ABC中，AB⊥AC，BC＝2，M为BC中点，N为AC中点，D为BC边上一个动点，△ABD沿AD翻折使BD⊥DC，点A在面BCD上的投影为点O，当点D在BC上运动时，以下说法错误的是( )
A．线段NO为定长 B．|CO|∈[1，2) C．∠AMO＋∠ADB>180° D．点O的轨迹是圆弧
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解析：选C.如图所示，对于A，△AOC为直角三角形，ON为斜边AC上的中线，ON＝AC为定长，即A正确；对于B，D在M时，AO＝1，CO＝1，所以|CO|∈[1，2)，即正确；对于D，由A可知，点O的轨迹是圆弧，即D正确，故选C.
立体几何中的最值(范围)问题
求解立体几何中的最值问题，需要先确定最值的主体，确定题目中描述的相关变量，然后根据所求，确定是利用几何方法求解，还是转化为代数(特别是函数)问题求解．利用几何方法求解时，往往利用几何体的结构特征将问题转化为平面几何中的问题进行求解，如求几何体表面距离的问题．利用代数法求解时，要合理选择参数，利用几何体中的相关运算构造目标函数，再根据条件确定参数的取值范围，从而确定目标函数的值域，即可利用函数最值的求解方法求得结果．
[典例分析]
(1) 如图，平面PAB⊥平面α，AB?α，且△PAB为正三角形，点D是平面α内的动点，ABCD是菱形，点O为
12AB中点，AC与OD交于点Q，l?α，且l⊥AB，则PQ与l所成
角的正切值的最小值为( ) A. 37－3＋ 2B. D．3 373＋ 2C. 7 (2) 如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与BCD均为等腰直角三角形，且∠BAC＝∠BCD＝90°，BC＝2，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得直线PQ与AC成30°的角，则线段PA长的取值范围是( ) A.?0，C.???2?? 2?B.?0，D.???6?? 3??2?，2? ?2??6?，2? ?3?【解析】 (1)如图，不妨以CD在AB前侧为例．以O为原点，分别以OB、OP所在直线为y、z轴建立空间直角坐标系，
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