三角函数的图像与性质
1．能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图像，了解三角函数的周期性； 2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如教学单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）； 目标 3．结合具体实例，了解y=Asin（wx+φ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin（wx+φ）的图像，观察参数A，w，φ对函数图像变化的影响。 近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由命题单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函 走向 数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。 预测2017年高考对本讲内容的考察为： 1．题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）； 2．热点问题是三角函数的图象和性质，特别是y=Asin（wx+φ）的图象及其变换； 教学多媒体课件 准备 一．知识梳理： 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 教学过程 -4?-7?-3?2 y=sinx-5?2-2?-3?-?2-?2y1-1y-?-2?-3?2-?2o3?2?2?2?5?23?7?24?x y=cosx-4?-7?2-5?-3?21-1o?2?3?22?5?23?7?24?x yyy=tanxy=cotx-3?2-?-?2o?2?3?2x-?-?2o?2?3?22?x 2．三角函数的单调区间： ????2k???(k?Z)， y?sinx的递增区间是?2k??，22??递减区间是?2k?????2，2k??3??(k?Z)； 2??2k??(k?Z)， y?cosx的递增区间是?2k???，2k????(k?Z)， 递减区间是?2k?，????y?tanx的递增区间是?k??，k???(k?Z)， 22??（其中A?0，??0）3．函数y?Asin(?x??)?B 最大值是A?B，最小值是B?A，周期是T?初相是?；其图象的对称轴是直线?x???k??交点都是该图象的对称中心。 4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左(?＞0)或向右(?＜0＝平移｜?｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的2??，频率是f??，相位是?x??，2??2(k?Z)，凡是该图象与直线y?B的1倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋?)的图象。 ?途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的或向右(?＜0＝平移1倍(ω＞0)，再沿x轴向左(?＞0)?|?|?个单位，便得y＝sin(ωx＋?)的图象。 5．由y＝Asin(ωx＋?)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式y=Asin（ωx+?）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。 ．．6．对称轴与对称中心： ?，?y?sinx的对称轴为x?k???2，对称中心为(k?,0) k?Z； y?cosx的对称轴为x?k?，对称中心为(k???2,0)； 对于y?Asin(?x??)和y?Acos(?x??)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、?的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8．求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成“y?Asin(?x??)、y?Acos(?x??)”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 9．五点法作y=Asin（ωx+?）的简图： 五点取法是设x=ωx+?，由x取0、再描点作图。 二．典例分析 考点一：三角函数的定义域与值域 典题导入 (1)(2013·湛江调研)函数y＝lg(sin x)＋(2)函数y＝sinx＋sin x－1的值域为( ) 2π3π、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，221cos x－的定义域为________． 2?5?A． B.?－，－1? ?4??5? C.?－，1? ?4? 5??D.?－1，? 4??sin x>0，?? (1)要使函数有意义必须有?1cos x－≥0，?2?sin x>0，??即?1cos x≥，?2? 2kπ
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