椭圆的简单几何性质典型例题[1]

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典型例题一

0?，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 例1 椭圆的一个顶点为A?2，分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．

0?为长轴端点时，a?2，b?1， 解：（1）当A?2，x2y2??1； 椭圆的标准方程为：410?为短轴端点时，b?2，a?4， （2）当A?2，x2y2??1； 椭圆的标准方程为：

416说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．

典型例题二

例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

a21?2? ∴3c2?a2， 解：?2c?c3∴e?13． ?33说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比．二是列

含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可．

典型例题三

例3 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x?y?1?0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

x22解：由题意，设椭圆方程为2?y?1，

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?x?y?1?0?222由?x2，得?1?a?x?2ax?0，

2?y?1?2?ax1?x21?a21?2，yM?1?xM?∴xM?， 22a1?a?kOM?yM11?2?，∴a2?4， xM4ax2?y2?1为所求． ∴4说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．

典型例题四

x2y?9???1上不同三点A?x1，y1?，B?4，?，C?x2，y2?与焦点F?4，0?的例4椭圆

259?5?距离成等差数列．

（1）求证x1?x2?8；

（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k．

证明：（1）由椭圆方程知a?5，b?3，c?4． 由圆锥曲线的统一定义知：

2AFa2?x1c?c， a∴ AF?a?ex1?5?同理 CF?5?4x1． 54x2． 59， 5∵ AF?CF?2BF，且BF?∴ ?5???4??4?18x1???5?x2??， 5??5?5即 x1?x2?8．

（2）因为线段AC的中点为?4，1??y?y2??，所以它的垂直平分线方程为 2?。 2欢迎下载

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y?y1?y2x1?x2?x?4?． ?2y1?y20?，代入上式，得 又∵点T在x轴上，设其坐标为?x0，2y12?y2 x0?4?

2?x1?x2?又∵点A?x1，y1?，B?x2，y2?都在椭圆上，

925?x12 25922 y2? 25?x225922?x1?x2??x1?x2?． ∴ y1?y2??25∴ y1?2????将此式代入①，并利用x1?x2?8的结论得 x0?4??36 25 ∴ kBT

9?05?5?． 4?x04典型例题五

x2y??1，F1、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到例5 已知椭圆

43左准线l的距离MN是MF1与MF2的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：假设M存在，设M?x1，y1?，由已知条件得

2a?2，b?3，∴c?1，e?∵左准线l的方程是x??4， ∴MN?4?x1． 又由焦半径公式知：

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