《经济数学·微积分·导数的应用》例题与习题答案

《经济数学·微积分·导数的应用》例题与习题答

案

目录

4.3-1函数的单调性 .................................................................................. 2 4.3-2函数的极值 ....................................................................................... 4 4.3-3曲线的凹凸性与拐点 ..................................................................... 7 4.3-4函数图形的描绘 ............................................................................ 11 4.4-1最值及其应用 ................................................................................ 16 4.4-2最值的经济应用 ............................................................................ 19 4.5-1泰勒公式 ......................................................................................... 24 4.5-2泰勒公式的应用 ............................................................................ 27 作业 .............................................................................................................. 28

4.3-1函数的单调性

定理 设函数y?f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，那么⑴若在(a,b)内，f'(x)?0，且等号仅在有限多个点处成立，则函数y?f(x)在[a,b]上单调增加；⑵若在(a,b)内，f'(x)?0，且等号仅在有限多个点处成立，则函数y?f(x)在[a,b]上单调减少. 方法 如果函数f(x)在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用f?(x)?0的点和f?(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，就能保证f?(x)在各个部分区间内保持固定符号，因而函数在每个部分区间上单调. 例 判定函数y?x?sinx在???，??上的单调性. 解 因为所给函数在???，??上连续，在???，??内

y'?1?cosx?0.

且等号仅在x?0处成立，所以由定理可知，函数y?x?sinx在???，??上单调增加.

例 解

讨论函数y?arctanx?x的单调性.

1x2?1???0， D?(??,??).y?221?x1?x?且等号仅在x?0处成立，所以函数在(??,??)上是单调减少的. 例解

讨论函数y?ex?x?2的单调性.

D?(??,??).y??ex?1.

在(??,0)内,y??0?在(??,0]上单调减少； 在(0,??)内,y??0?在[0,??)上单调增加.

例解

讨论函数y?5x2的单调性.

D?(??,??).

?32?5当x?0时,y?x；当x?0时，函数的导数不存在.

5在(??,0)内,y??0?在(??,0]上单调减少； 在(0,??)内,y??0?在[0,??)上单调增加. 例解

确定函数y?x3?3x2?9x?14的单调区间.

D?(??,??).y??3x2?6x?9?3(x?1)(x?3).

y??0的点为x1??1,x2?3.划分定义区间:

(??,?1],[?1,3] ,[3,??).

在(??,?1)内,y??0?在(??,?1]上单调增加； 在(?1,3) 内,y??0?在[-1,3]上单调减少； 在(3,??)内,y??0?在[3,??)上单调增加. 例证

证明：当x?1时,2x?3?.

?3?令f(x)?2x????, x??11x当x?1时,

11f(x)??2?xx?x3?1?0 2x所以当x?1时,因此,

当x?1时,

f(x)单调增加，由于f(1)?0,

f(x)?f(1)?0,

1?1?2x??3???0,即2x?3?.

x?x?例 解

讨论函数y?ex?x?1的单调性.

y??ex?1. 又D:(??,??).