专题限时集训(十二) 函数的图象与性质、函数与方程
[专题通关练] (建议用时：30分钟)
548x1．函数y＝a－a(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则loga＋loga＝( )
65A．1 C．3
B．2 D．4
C [当x＝1时，y＝0，则函数在[0,1]上为减函数，故a>1.∴当x＝0时，y＝1，则a－1＝1，∴a＝2.
548?548?则loga＋loga＝loga?×?＝log28＝3.]
65?65?
1
2．(2019·昆明模拟)函数y＝－ln(x＋1)的图象大致为( )
x
1
A [由于函数y＝－ln(x＋1)在(－1,0)，(0，＋∞)单调递减，故排除B，D；当x＝1
x时，y＝1－ln 2＞0，故排除C，故选A.]
3．[一题多解](2019·全国卷Ⅱ)若a＞b，则( ) A．ln(a－b)＞0 C．a－b＞0
3
3
B．3＜3 D．|a|＞|b|
abC [法一：由函数y＝ln x的图象(图略)知，当0＜a－b＜1时，ln(a－b)<0，故A不正确；因为函数y＝3在R上单调递增，所以当a>b时，3>3，故B不正确；因为函数y＝x在R上单调递增，所以当a>b时，a>b，即a－b＞0，故C正确；当b 法二：当a＝0.3，b＝－0.4时，ln(a－b)＜0,3＞3，|a|＜|b|，故排除A，B，D.故选 - 1 - ab3 3 3 3 xab3 C.] 4．(2019·长沙模拟)下列函数，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是( ) A．f(x)＝sin x－x B．f(x)＝ln(x－1)－ln(x＋1) e＋e C．f(x)＝ 2e－1 D．f(x)＝x e＋1 D [由函数的图象关于原点对称知函数为奇函数，由函数在定义域内单调递增，知在定义域内其导函数大于等于0.A中，f′(x)＝cos x－1＞0无解，故A不满足题意；B中，函数 xx－xf(x)的定义域为(1，＋∞)，其图象不关于原点对称，故B不满足题意；C中，f(－x)＝f(x)， e－12 所以函数f(x)为偶函数，故C不满足题意；D中，f(x)＝x＝1－x，所以f(x)在定义 e＋1e＋1e－1e－1 域内单调递增，又f(－x)＝－x＝－x＝－f(x)，所以f(x)在定义域内单调递增且图象 e＋1e＋1关于原点对称，故D满足题意．故选D.] 5．若函数f(x)＝e－ln(x＋a)在(0，＋∞)上存在零点，则实数a的取值范围是( ) 1??A.?－∞，? e?? B．(－∞，e) 1??D.?－e，? e?? －x－x－x－xxx?1?C.?－，e? ?e? 有实根， B [若f(x)＝e－ln(x＋a)在(0，＋∞)上存在零点，即e＝ln(x＋a)在(0，＋∞)上 即两个函数y＝e和h(x)＝ln(x＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点，作出两个函数的图象如图： 若a＞0， 则只需要h(0)＝ln a＜1，即0＜a＜e； 若a≤0，则h(x)＝ln(x＋a)的图象是函数y＝ln x向右平移的，此时在(0，＋∞)上恒有交点，满足条件， 综上a＜e，故选B.] 6．(2019·岳阳二模)已知f(x)为R上的奇函数，g(x)＝f(x)＋2，g(－2)＝3，则f(2)＝________. －1 [∵g(x)＝f(x)＋2，∴g(－2)＝f(－2)＋2＝3，∴f(－2)＝1，又f(x)为奇函数，则f(2)＝－f(－2)＝－1.] ??a，x<0， 7．[易错题]已知函数f(x)＝? ??a－3x＋4a，x≥0 x－x 满足对任意x1≠x2，都有 - 2 - fx1－fx2 <0成立，则a的取值范围是______． x1－x2 ?0，1? [fx1－fx2?4?x1－x2?? 0 <0?f(x)是减函数??a－3<0， ??4a≤1， ?1??a∈?0，?.] ?4? 8．[重视题](2019·北京高考)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%. ①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________． 130 15 [①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60＋80＝140(元)， 即有顾客需要支付140－10＝130(元)； ②在促销活动中，设订单总金额为m元，可得(m－x)×80%≥m×70%， m120 即x≤，由题意得m≥120，故x≤＝15，则x的最大值为15元．] 88 [能力提升练] (建议用时：15分钟) 9．已知f(x)是定义在[2b,1－b]上的奇函数，且在[2b,0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集为( ) 2??A.?－1，? 3?? C．[－1,1] 1??B.?－1，? 3?? ?1?D.?，1? ?3? C [函数f(x)是定义在[2b,1－b]上的奇函数，则2b＋(1－b)＝0，解得b＝－1，则函数的定义域为[－2,2]，又f(x)在[－2,0]上为增函数，则f(x)在[－2,2]上为增函数，f(x－1)≤f(2x)?－2≤x－1≤2x≤2，解得－1≤x≤1，即不等式的解集为[－1,1]，故选C.] 10．[重视题]已知定义在R上的函数f(x)，若f(x)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(2 019)＝( ) A．－1 C．0 B．1 D．2 019 2 2 A [因为f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)， 即f(－x)＝f(x＋2)，又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， - 3 - 所以函数f(x)是以4为周期的周期函数， 又当0≤x≤1时，f(x)＝x，所以f(2 019)＝f(4×505－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.故选A.] 11．设函数f(x)＝x－4x＋a(eA．－2 C．1 2 2 2 x－2 ＋e 2－x)有唯一的零点，则实数a＝( ) B．0 D．2 D [令x－2＝t，则g(t)＝t－4＋a(e＋e)， 易知g(t)为偶函数，且g(t)≥g(0)＝2a－4. 要使f(x)有唯一零点，则只需2a－4＝0，即a＝2.故选D.] 12．(2019·安庆二模)已知正数x，y，z满足logx＝logy＝logz＞0，则下列结论不 235可能成立的是( ) A.＝＝ 235C.＞＞ 235 B [设logx＝logy＝logz＝k＞0， 235则＝2 2 t－txyzxyzB.＜＜ 352D.＜＜ 235 yzxxyzxk－1 ，＝33 yk－1 ，＝55 zk－1 ， ∴k＝1时，＝＝， 235 xyzxyzk＞1时，＜＜， 23 5 0＜k＜1时，＞＞.故选B.] 235 xyz - 4 - 题号 1 内容 函数的图象、性质、函数建模 函数奇偶性的定义，函数零点的判断，对数的运算 押题依据 试题情景新颖，巧妙的将几何问题与函数图象交汇在一起，体现了数学直观与数学抽象的素养 对数型复合函数奇偶性的判定是高考命题的热点之一，“w型”函数的零点问题也是命题的热点之一，两者交汇，符合高考命题特点 2 【押题1】 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱A1B1，CD的中点，点M是EF上的动点(不与E，F重合)， FM＝x，过点M与直线AB的平面将正方体分成上、下两部分，记 下面部分的体积为V(x)，则函数y＝V(x)的大致图象是( ) x2?? ?，x∈?0，?，?22－2x?2? C [由题易知V(x)＝? 32?2?－，x∈?，2?，??22x?2? 快的速度增大；当x∈? 当x∈?0， ? ?2? V(x)以越来越?时，2? ?2? ，2?时，V(x)以越来越慢的速度增大，故选C.] ?2? x【押题2】 若函数f(x)＝lg(10＋1)＋ax是偶函数，则实数a＝________，函数g(x)＝x－|x|＋a的零点有________个． 1 － 2 [∵f(x)是偶函数，则f(－x)＝f(x)， 2 1＋10 即lg(10＋1)－ax＝lg(10＋1)＋ax，即2ax＝lg(10＋1)－lg(10＋1)＝lgx－ 10 －x2 xx－xxlg(10＋1)＝－x， x - 5 - 112 则2a＝－1，得a＝－，则g(x)＝x－|x|－， 221±12 由g(x)＝x－|x|－＝0得|x|＝ 2 11＋4× 21±3＝， 22 1＋31＋3 则|x|＝(舍去负值)，则x＝±，即g(x)有两个零点．] 22 - 6 -
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