∵AB＝AB，
∴△ADB≌△BCA（HL）； （2）解：如图，连接DC， ∵OD⊥AC，
∴，
∴AD＝DC， ∵△ADB≌△BCA， ∴AD＝BC， ∴AD＝DC＝BC， ∴∠AOD＝∠ABC＝60°， ∵AB＝4， ∴
（3）证明：如图，连接OC， ∵BC＝BP＝2
；
∴∠BCP＝∠P，∵∠ABC＝60°， ∴∠BCP＝30°，
∵OC＝OB，∠ABC＝60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠OCB＝60°，
∴∠OCP＝∠OCB+∠BCP＝60°+30°＝90°， ∴OC⊥PC， ∴PC是⊙O的切线．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性
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质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线是本题的关键．
15．（2019?鄂尔多斯）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC．过作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG． （1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH＝2，CH＝2
，求OM的长．
上一点E
【分析】（1）连接OE，如图，通过证明∠GEA+∠OEA＝90°得到OE⊥GE，然后根据切线的判定定理得到EG是⊙O的切线；
（2）连接OC，如图，设⊙O的半径为r，则OC＝r，OH＝r﹣2，利用勾股定理得到（r﹣2）+（2
）＝r，解得r＝3，然后证明Rt△OEM∽Rt△CHA，再利用相似比计算OM的长．
2
2
2
【解答】（1）证明：连接OE，如图， ∵GE＝GF， ∴∠GEF＝∠GFE， 而∠GFE＝∠AFH， ∴∠GEF＝∠AFH， ∵AB⊥CD，
∴∠OAF+∠AFH＝90°， ∴∠GEA+∠OAF＝90°， ∵OA＝OE， ∴∠OEA＝∠OAF，
∴∠GEA+∠OEA＝90°，即∠GEO＝90°， ∴OE⊥GE， ∴EG是⊙O的切线； （2）解：连接OC，如图，
设⊙O的半径为r，则OC＝r，OH＝r﹣2， 在Rt△OCH中，（r﹣2）+（2
2
）＝r，解得r＝3，
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22
在Rt△ACH中，AC＝∵AC∥GE， ∴∠M＝∠CAH， ∴Rt△OEM∽Rt△CHA， ∴
＝
，即．
＝
，
＝2，
∴OM＝
【点评】本题考查了切线的判断与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径．也考查了勾股定理．
16．（2019?沈阳）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥MN于点D．
（1）求证：∠ABC＝∠CBD； （2）若BC＝4
，CD＝4，则⊙O的半径是 5 ．
【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得OC⊥MN，即可证得OC∥BD，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠CBD＝∠BCO＝∠ABC，即可证得结论；
（2）连接AC，由勾股定理求得BD，然后通过证得△ABC∽△CBD，求得直径AB，从而求得半径．
【解答】（1）证明：连接OC， ∵MN为⊙O的切线，
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∴OC⊥MN， ∵BD⊥MN， ∴OC∥BD， ∴∠CBD＝∠BCO． 又∵OC＝OB， ∴∠BCO＝∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABC．； （2）解：连接AC， 在Rt△BCD中，BC＝4∴BD＝
＝8，
，CD＝4，
∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠CDB＝90°， ∵∠ABC＝∠CBD， ∴△ABC∽△CBD， ∴
＝
，即
＝
，
∴AB＝10， ∴⊙O的半径是5， 故答案为5．
【点评】本题考查了切线的性质和圆周角定理、三角形相似的判定和性质以及解直角三角形，作出辅助线构建等腰三角形、直角三角形是解题的关键．
17．（2019?雅安）如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F． （1）求证：DC是⊙O的切线；
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