【分析】（1）根据等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余证得∠EFC+∠OFA＝90°，即可证得∠EFO＝90°，即EF⊥OF，从而证得结论；
（2）根据圆周角定理得出∠AFM＝90°，通过解直角三角形求得AM＝10，得出AD＝8，进而求得AC＝
，即可求得FC＝
﹣6＝
．
【解答】（1）证明：连接OF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD+∠DCA＝90°， ∵EC＝EF， ∴∠DCA＝∠EFC， ∵OA＝OF， ∴∠CAD＝∠OFA， ∴∠EFC+∠OFA＝90°， ∴∠EFO＝90°， ∴EF⊥OF， ∵OF是半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）连接MF， ∵AM是直径， ∴∠AFM＝90°，
在Rt△AFM中，cos∠CAD＝∵AF＝6， ∴
＝，
＝，
∴AM＝10， ∵MD＝2，
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∴AD＝8，
在Rt△ADC中，cos∠CAD＝∴
＝，
， ﹣6＝
＝，
∴AC＝∴FC＝
【点评】本题考查了切线的判定和性质，矩形的性质，圆周角定理的应用以及解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 11．（2019?日照）探究活动一：
如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线AB上的三点A（1，3）、B（2，5）、C（4，9），有kAB＝
＝2，kAC＝
＝2，发现kAB＝kAC，兴趣小组提出猜想：若直线y
＝kx+b（k≠0）上任意两点坐
标P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1≠x2），则kPQ＝
是定值．通过多次验证和查阅资料得知，
猜想成立，kPQ是定值，并且是直线y＝kx+b（k≠0）中的k，叫做这条直线的斜率． 请你应用以上规律直接写出过S（﹣2，﹣2）、T（4，2）两点的直线ST的斜率kST＝ 探究活动二
数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．
如图2，直线DE与直线DF垂直于点D，D（2，2），E（1，4），F（4，3）．请求出直线DE与直线DF的斜率之积． 综合应用
如图3，⊙M为以点M为圆心，MN的长为半径的圆，M（1，2），N（4，5），请结合探究活动二的结论，求出过点N的⊙M的切线的解析式．
．
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【分析】（1）直接利用公式计算即可；
（2）运用公式分别求出kDE和kDF的值，再计算kDE×kDF＝﹣1；
（3）先求直线MN的斜率kMN，根据切线性质可知PQ⊥MN，可得直线PQ的斜率kPQ，待定系数法即可求得直线PQ解析式．
【解答】解：（1）∵S（﹣2，﹣2）、T（4，2） ∴kST＝故答案为：
（2）∵D（2，2），E（1，4），F（4，3）． ∴kDE＝
＝﹣2，kDF＝
＝，
＝
∴kDE×kDF＝﹣2×＝﹣1，
∴任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于﹣1． （3）设经过点N与⊙M的直线为PQ，解析式为y＝kPQx+b ∵M（1，2），N（4，5）， ∴kMN＝
＝1，
∵PQ为⊙M的切线 ∴PQ⊥MN ∴kPQ×kMN＝﹣1， ∴kPQ＝﹣1，
∵直线PQ经过点N（4，5）， ∴5＝﹣1×4+b，解得 b＝9 ∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+9．
【点评】本题主要考查了圆的切线性质，待定系数法求一次函数解析式，新定义：直线斜率；是
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一道创新题，引入新定义：直线斜率，理解和掌握直线斜率的概念是解题的关键． 12．（2019?永州）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，在劣弧使
＝
，将△ADC沿AD对折，得到△ADE，连接CE．
上取一点D，
（1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若CE＝
CD，劣弧
的弧长为π，求⊙O的半径．
【分析】（1）在△ACE中，根据三角形内角和为180°，则2α+2β+2γ＝180°，即可求解； （2）证明四边形AMCN为矩形，CN＝CE＝ABM＝60°，即可求解． 【解答】解：（1）∵
＝
，∴∠CAD＝∠BCA＝α＝∠EAD，
x＝AM，而AB＝x，则sin∠ABM＝
，即∠
设：∠DCA＝∠DEA＝β，∠DCE＝∠DEC＝γ，
则△ACE中，根据三角形内角和为180°， ∴2α+2β+2γ＝180°， ∴α+β+γ＝90°， ∴CE是⊙O的切线；
（2）过点A作AM⊥BC，延长AD交CE于点N， 则DN⊥CE，∴四边形AMCN为矩形， 设：AB＝CD＝x，则CE＝则CN＝CE＝
x，
x＝AM，而AB＝x，
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则sin∠ABM＝，∴∠ABM＝60°，
∴△OAB为等边三角形，即∠AOB＝60°， ＝
＝
×2πr＝π，
解得：r＝3， 故圆的半径为3．
【点评】本题主要考查的是圆切线的基本性质，涉及到弧长的计算、三角形内角和知识等，综合性较强，难度较大．
13．（2019?西藏）如图，在△ABC中．∠ABC＝∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠BCP＝∠BAC． （1）求证：CP是⊙O的切线； （2）若BC＝3
，cos∠BCP＝
，求点B到AC的距离．
【分析】（1）证明△ABC为等腰三角形，则∠NAC+∠NCA＝90°，即α+∠ACB＝90°，即可求解；
（2）在△ACN中，AN＝即可求解．
【解答】解：（1）连接AN，则AN⊥BC，
＝
，同理AC＝
，利用S△ABC＝AN×BC＝AC?h，
∵∠ABC＝∠ACB，∴△ABC为等腰三角形，
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