2014年高考数学分类汇编： 不等式

2014年高考数学求参数专题 1.[2014·山东卷] 已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是( )

11A. ＞ B. ln(x2＋1)＞ln(y2＋1) C. sin x＞sin y D. x3＞y3 x2＋1y2＋12．[2014·四川卷] 若a>b>0，cd B.cc D.d

πx

4[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设函数f(x)＝3sinm，若存在f(x)的极值点x0满足x20＋[f(x0)]2＜m2，则m的取值范围是( )

A．(－∞，－6)∪(6，＋∞) B．(－∞，－4)∪(4，＋∞) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

x＋y－2≤0，

?

5．[2014·安徽卷] x，y满足约束条件?x－2y－2≤0，若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，

?2x－y＋2≥0.

则实数a的值为( ) 11

A.2或－1 B．2或2 C．2或1 D．2或－1

x＋y－2≥0，

?

6．[2014·北京卷] 若x，y满足?kx－y＋2≥0，且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为(

?y≥0，

11

A．2 B．－2 C. D．－ 22

)

?y≤x，

7．[2014·湖南卷] 若变量x，y满足约束条件?x＋y≤4，且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝

?y≥k，

________.

?x＋y≥1，

8、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组?的解集记为D，有下面四个命题：

?x－2y≤4

p1：?(x，y)∈D，x＋2y≥－2，p2：?(x，y)∈D，x＋2y≥2，

p3：?(x，y)∈D，x＋2y≤3，p4：?(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中的真命题是( ) A．p2，p3 B．p1，p2 C．p1，p4 D．p1，p3

?x－y－1≤0，

9．[2014·山东卷] 已知x，y满足约束条件?当目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)

2x－y－3≥0，?

在该约束条件下取到最小值2 5时，a2＋b2的最小值为( ) A. 5 B. 4 C. 5 D. 2

x＋2y－4≤0，10．

?

[2014·浙江卷] 当实数x，y满足?x－y－1≤0，

?x≥1

时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取

值范围是________． 11.[2014·四川卷] 设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．

12．[2014·福建卷] 要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)． 13．[2014·广州七校联考] 不等式|x＋2|＋|x－1|≤5的解集为________．

1

14．[2014·安徽六校联考] 若正实数x，y满足x＋y＝2，且xy≥M恒成立，则M的最大值为( )

A．1 B． 2 C．3 D．4 15．[2014·福建宁德期末] 已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，则

a

x1＋x2＋x1x2的最小值是( )

6242A.3 B.3 3 C.3 3 D.3 6 16．[2014·长沙模拟] 若f(x)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，f(2)＝0，则f（x）－f（－x）

＞0的解集是( )

x

A．(－2，0)∪(0，2) B．(－∞，－2)∪(0，2) C．(－2，0)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

19

17．[2014·浙江六市六校联考] 已知正数x，y满足x＋y＋x＋y＝10，则x＋y的最大值为________． 18．[2014·山东卷] 已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )

1???1?

A. ?0，2? B. ?2，1? C. (1，2) D. (2，＋∞) ????

1

19、[2014·湖南卷] 已知函数f(x)＝x2＋ex－2(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图像上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )

1?1?1??

A．(－∞，) B．(－∞，e) C.?－，e? D.?－e，?

ee????e

20．[2014·天津卷] 已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________． 21.[2014·浙江卷] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且09

22、[2014·江西卷] 已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b)1－2x(b∈R)．

1??

(1)当b＝4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间?0，3?上单调递增，求b的取值范围．

??

11

1．D [解析] 因为ax＜ay(0＜a＜1)，所以x＞y，所以sin x＞sin y，ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)，＞都

x2＋1y2＋11111

不一定正确，故选D. 2．D [解析] 因为c＜d＜0，所以<＜0，即－>－＞0，与a＞b＞0对应相乘

dcdc

?

?x＋a－1?－a≤x≤－1?，abab

?2?得，－>－＞0，所以<. 3.D [解析] 当a≥2时，f(x)＝?dcdc

?x<－a?.?－3x－a－1?2??

aaa

－?＝－1＝3，可得a＝8. 由图可知，当x＝－时，fmin(x)＝f??2?22

3x＋a＋1（x>－1），

?

?

a 当a<2时，f(x)?－1≤x≤－?，－x－a＋1?2??

??－3x－a－1（x<－1）.

a

x>－?，3x＋a＋1?2??

aaa

－?＝－＋1＝3，可得a＝－4.综上可知，a的值为－4或8. 由图可知，当x＝－时，fmin(x)＝f??2?22πxπ1

k＋?，k∈Z，且极值为±3，问题等价于存4.C [解析] 函数f(x)的极值点满足＝＋kπ，即x＝m??2?m2

1?21?211??在k0使之满足不等式m2?k0＋2?＋3

44

m2>4，解得m>2或m<－2，故m的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．

5．D 6．D 可行域如图所示，当k>0时，知z＝y－x无最小值，当k<0时，目标函数线过可行域内A

??y＝0，221

－，0?，故zmin＝0＋＝－4，即k＝－. 点时z有最小值．联立?解得A??k?k2?kx－y＋2＝0，?

7．－2 [解析] 画出可行域，如图中阴影部分所示，不难得出z＝2x＋y在点A(k，k)处取最小值，即3k＝－6，解得k＝－2.

8.B [解析] 不等式组表示的区域D如图中的阴影部分所示，设目标函数z＝x＋2y，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2，－1)处取得最小值，且zmin＝2－2＝0，即x＋2y的取值范围是[0，＋∞)，故命题p1，p2为真，命题p3，p4为假．

9．B [解析] 画出约束条件表示的可行域(如图所示)．

显然，当目标函数z＝ax＋by过点A(2，1)时，z取得最小值，即2 5＝2a＋b，所以2 5－2a＝b，所以a2＋b2＝a2＋(2 5－2a)2＝5a2－8 5a＋20，构造函数m(a)＝5a2－8 5a＋20(5>a>0)，利用二次函数求最值，显然函数m(a)＝5a2－85a＋20的最小值是

4×5×20－（8

4×5

5）2

＝4，即a2＋b2的最小值

为4.故选B. 33

1，? [解析] 实数x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，图中A(1，0)，B(2，1)，C?1，?.当a≤010.??2??2?3

时，0≤y≤，1≤x≤2，所以1≤ax＋y≤4不可能恒成立；当a>0时，借助图像得，当直线z＝ax＋y过点A时

21≤a≤4，??1≤2a＋1≤4，33

1，?. z取得最小值，当直线z＝ax＋y过点B或C时z取得最大值，故?解得1≤a≤.故a∈??2?23

??1≤a＋2≤4，

ab? 基本不等式a?b2

11．5 由题意可知，定点A(0，0)，B(1，3)，且两条直线互相垂直，则其交点P(x，y)落在以AB为直径的圆周上，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.∴|PA||PB|≤

|PA|2＋|PB|2

＝5，当且仅当|PA|＝|PB|时等号成立 2

4

12．160 [解析] 设底面矩形的一边长为x，由容器的容积为4 m3，高为1 m得，另一边长为 m.

x44

x＋?×1×10＝80＋20?x＋?≥80＋20×记容器的总造价为y元，则y＝4×20＋2?2?x??x?4

当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立．因此，当x＝2时，y取得最小值160元，

x即容器的最低总造价为160元．

13．[－3，2] [解析] 根据绝对值的几何意义，得不等式的解集为－3≤x≤2.

1

14．A [解析] ∵x＋y≥2xy，且x＋y＝2，∴2≥2xy，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，∴xy≤1，∴≥

xya1

1，∴1≥M，∴Mmax＝1. 15．C [解析] 由题知x1＋x2＝4a，x1x2＝3a2，∴x1＋x2＋＝4a＋≥2

x1x23a44 33

＝，当且仅当a＝时，等号成立． 336

16．D [解析] 因为f(x)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递增．又f（x）－f（－x）2f（x）f(－x)＝－f(x)，所以>0等价于>0.

xx

4x·＝160(元)， x

根据题设作出f(x)的大致图像如图所示．由图可知，

2f（x）

>0的解集是(－∞，－2)∪(2，＋∞)． x

1919199xy

17．8 [解析] ∵＋＝10－(x＋y)，∴(x＋y)＋＝10(x＋y)－(x＋y)2.又(x＋y)＋＝10＋＋≥10＋6

xyxyxyyx＝16，∴10(x＋y)－(x＋y)2≥16，即(x＋y)2－10(x＋y)＋16≤0，∴2≤x＋y≤8，∴x＋y的最大值为8. 1

18．B k＞，且k＜1.故选B.

2

19．B [解析] 依题意，设存在P(－m，n)在f(x)的图像上，则Q(m，n)在g(x)的图像上，则有m2＋e－m111

－＝m2＋ln(m＋a)，解得m＋a＝ee－m－，即a＝ee－m－－m(m＞0)，可得a∈(－∞，e)． 22220．(0，1)∪(9，＋∞) [解析] 在同一坐标系内分别作出y＝f(x)与y＝a|x－1|的图像如图所示．当y＝a|x

??－ax＋a＝－x2－3x，－1|与y＝f(x)的图像相切时，由?整理得x2＋(3－a)x＋a＝0，则Δ＝(3－a)2－4a＝a2

?a>0，?

－10a＋9＝0，解得a＝1或a＝9.故当y＝a|x－1|与y＝f(x)的图像有四个交点时，09.

??－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c，

21．C [解析] 由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得??

?－8＋4a－2b＋c＝－27＋9a－3b＋c?

??－7＋3a－b＝0，??a＝6，

???则f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c，而0

－5x（x＋2）18．解：(1)当b＝4时，f′(x)＝，由f′(x)＝0，得x＝－2或x＝0.

1－2x

10，?所以当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈??2?时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x＝－2处取得极小值f(－2)＝0，在x＝0处取得极大值f(0)＝4.

－x[5x＋（3b－2）]1－x

0，?时，(2)f′(x)＝，易知当x∈?<0， ?3?1－2x1－2x151

0，?时，有5x＋(3b－2)≤0，从而＋(3b－2)≤0，得b≤. 依题意当x∈??3?391

－∞，?. 所以b的取值范围为?9??