高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)二次函数与幂函数

解析：选D 据题意只需转化为当x≤0时，ax2－(3－a)x＋1>0恒成立即可．结合f(x)3－a

＝ax2－(3－a)x＋1的图象，当a＝0时验证知符合条件．当a≠0时必有a>0，当x＝≥0

2a时，函数在(－∞，0)上单调递减，故要使原不等式恒成立，只需f(0)>0即可，解得0＜a≤3；3－a?3－a?当x＝<0时，只需f??>0即可，解得3

2．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x增函数？

解：∵函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3是幂函数， ∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.

当m＝2时，－5m－3＝－13，函数y＝x－13在(0，＋∞)上是减函数； 当m＝－1时，－5m－3＝2，函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m＝－1.

3．已知f(x)＝x2＋3x－5，x∈[t，t＋1]，若f(x)的最小值为h(t)，写出h(t)的表达式． 解：如图所示，

3

函数图象的对称轴为x＝－，

235

(1)当t＋1≤－，即t≤－时，

22h(t)＝f(t＋1)＝(t＋1)2＋3(t＋1)－5， 5

t≤－?. 即h(t)＝t2＋5t－1?2??3

(2)当t≤－

253

即－＜t≤－时，

22329－?＝－. h(t)＝f??2?4

3

(3)当t>－时，h(t)＝f(t)＝t2＋3t－5.

2综上可得，

－5m－3

，m为何值时，f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上是

??29?53?h(t)＝?－4?－2

?t>－3?.?t＋3t－5?2??

2

5t≤－?，t2＋5t－1?2??

4．设f(x)是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x，当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的一部分．

(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；

(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图；

(3)写出函数f(x)的值域．

解：(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4，将(2,2)代入可得a＝－2，

所以y＝－2(x－3)2＋4， 即x>2时，f(x)＝－2x2＋12x－14. 又f(x)为偶函数，当x<－2，即－x>2时， f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14， 即f(x)＝－2x2－12x－14.

故函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为 f(x)＝－2x2－12x－14. (2)函数f(x)的图象如图：

(3)由图象可知，函数f(x)的值域为(－∞，4]．