专题1.4 极值点偏移第二招--含参数的极值点偏移问题(解析版)—2020届高考压轴题讲义(解答题)

含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元x1,x2的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.

★例1. 已知函数f(x)?x?aex有两个不同的零点x1,x2，求证：x1?x2?2.

不妨设x1?x2，记t?x1?x2，则t?0,e?1，

t2(et?1)et?1?0， ?2?t?t 因此只要证明：t?te?1e?1再次换元令e?x?1,tt?lnx，即证lnx?2(x?1)?0,x?(1,??) x?1构造新函数F(x)?lnx?'2(x?1)，F(1)?0 x?114(x?1)2??0，得F(x)在(1,??)上递增，学*科网 求导F(x)??x(x?1)2x(x?1)2所以F(x)?0，因此原不等式x1?x2?2获证.

★例2. 已知函数f(x)?lnx?ax，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1,x2，证明：x1?x2?e2.

法二：利用参数a作为媒介，换元后构造新函数： 不妨设x1?x2，

∵lnx1?ax1?0,lnx2?ax2?0，∴lnx1?lnx2?a(x1?x2),lnx1?lnx2?a(x1?x2)， ∴

lnx1?lnx2x?a，欲证明x1x2?e2，即证lnx1?lnx2?2.

1?x2∵lnx?lnx)，∴即证a?212?a(x1?x2xx，

1?2∴原命题等价于证明

lnx1?lnx2x2(x1x?2，即证：ln1??x2)，令t?x1,(t?1)，1?x2x1?x2x2x1?x2x2g(t)?lnt?2(t?1)t?1,t?1，此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略. 法三：直接换元构造新函数：

a?lnx1?lnx2?lnx2?x2,设xx2xxx1?x2,t?,(t?1)， 12ln1x1x1则xlntx1lnt?2?tx1,lnx?t?lnx1?t， 1lnx1反解出：lnxlnt1?t?1,lnx?lntxlnt?lnttlnt21?lnt?lnx1?t?1?t?1，学*科网 故xlnxt?11x2?e2?1?lnx2?2?t?1lnt?2，转化成法二，下同，略.

★例3.已知x1,x2是函数f(x)?ex?ax的两个零点，且x1?x2.

构造

（1）求证：x1?x2?2； （2）求证：x1?x2?1.

ex2?ex12ex1?ex2x1x2(2)要证：x1x2?1，即证：)， ?1，等价于e?e?(2x2?x1aex1?ex21ex2?x11也即x，等价于，令t?x2?x1?0 ??x12x2?x12222(e?e)(x2?x1)(e?1)(x2?x1)te1e12?(t?0)，等价于即证：t?e?et?1?0 ?2(t?0)，也等价于t等价于t2e?1t(e?1)ttt21ttt令h(t)?t?e?e?1(t?0)，则h?(t)?e?t?e2?e?e2(1??e2)，

22t1t又令?(t)?1??e2(t?0)，得??(t)???e2?0，∴?(t)在(0,??)单调递减，

222ttt2t2ttt?(t)??(0)?0，从而h?(t)?0，h(t)在(0,??)单调递减，∴h(t)?h(0)?0，即证原不等式成立.

【点评】从消元的角度，消掉参数a，得到一个关于x1,x2的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不等式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式.学*科网