一元二次方程知识要点

一元二次方程知识要点

1．关于一元二次方程： ①元的个数是一个，方程是整式方程；②含有未知数的最高次项的次数是二次；③若方程有实数根，则解的个数一定是两个． 2．关于配方法解一元二次方程： ①首先将二次项系数变为1；

②方程两边各加上一次项系数一半的平方，这是配方法的关键的一步，方程左边配成完全平方式，当右边是非负实数时，用开平方法即可求得方程的解． 3．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：

十字相乘法：ax+bx+c=0中，将a分解成两数之积（m,n）,将c分解成两数之积（k,p）,交叉相乘再相加：mp+nk，若等于b，则可使用十字相乘法：（mx+k）(nx+p)=0 6、应用题。解应用题的一般步骤，先设恰当的未知数x，再利用x列出相关的代数式，然后找出等量关系，从而列出方程，接下来解方程，检验根的合理性，最后作答。 增长率问题：a(1±x)n=b,其中a为初值，b为终值，x为百分率，n是次数。

例题及分析：

例1、判断下列方程哪些是一元二次方程：

(1)3x2+4x-2=0； (2)x2-2x+3=6x-1； (3)7-x3=x+x2； (4)x2-2xy-4=0； （5）

2

x=(b2-4ac 0) 推导过程：利用配方法

2

2

4．一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)根的判别式：Δ=b－4ac，其作用如下： (1) (2) (3)

=b-4ac>0 =b2-4ac=0 =b2-4ac<0

2

3x2=5-；(6)2-x2+y2=x+m (7)6x2+3x=-3x(3-2x)；(8)3(x+1)+3=3x(2x+5)

方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根

拓展：韦达定理

例2、关于x的方程(m+3)x2-mx+1=0是不是一元二次方程的条件？

例3、(1)用开平方法解方程（3x-1）2=9 (2)用配方法解方程3x2－1=6x

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（3)用公式法解方程2x+5x－3=0 （4）用因式分解法解方程x＋7x＋12=0

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例4、解关于x的方程 x＋mx＋2=mx＋3x（m≠1） 解：x2－mx2＋mx-3x＋2=0 （1－m）x2＋（m-3）x＋2=0 ∵m≠1，∴1-m≠0，∴原方程为一元二次方程 ∵b2-4ac＝（m-3）2-4（1-m）·2＝（m＋1）2≥0

设x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根，x1+x2=- ，x1 x2= ，利用公式

x= = x1=, x2=1

法推导，其作用如下：

①能运用它由已知方程的一个根，求出另一个根及未知数的系数； ②可以利用它求出两根的平方和、立方和、两根倒数和的平方等等； ③利用x1+x2和x1·x2的关系可以解特殊的二元二次方程组； ④利用根与系数关系判定两根的符号及方程各项系数的符号；

⑤利用根与系数的关系，可以造出新的一元二次方程ax2+bx+c=a(x－x1)(x－x2) 5、因式分解法：

包括平方差公式：两数（或两式）的平方差，等于两数之和乘以两数之差。 完全平方公式：两数的平方和，加上（或减去）两数乘积的2倍，等于这两数和（或差）的平方。 例5、已知a、b、c是三角形的三边，求证：方程b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0没有实数根．

2

例6、求证方程(m－1)x＋3mx＋m＋1＝0 (m≠1)，必有两个不相等的实数根． 证明：∵m≠1 ∴m－1≠0 ∴此方程是关于x的一元二次方程 △＝(3m)2－4(m－1)(m＋1) ＝9m2－4m2＋4 ＝5m2＋4 ∵不论m取任何不为1的实数都有5m2≥0

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∴5m＋4＞0 即△＝5m＋4＞0 ∴方程必有两个不相等的实数根

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例8、如果关于x的方程mx-2（m+2）x+m+5=0没有实数根，那么关于x的方程（m-5）x2-2（m+2）x+m=0的实根有几个？

例9、解某一元二次方程，甲抄错一次项，得根为-2和-3，乙抄错常数项，得根为

1

6和-1，那么正确的方程应是____．

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例10、解方程x-2|x|-1=0．提示：原方程化为 |x|-2|x|-1=0，

例11、一个两位数,十位数与个位数字之和是5，把这个数的个位数与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数．

例12、一个长方形，它的长比宽的2倍还多1厘米，它的宽与另一正方形的边长相同，且这个长方形的面积比正方形的面积多72平方厘米，求此长方形与正方形的面积各是多少？

3．解方程：（2x+1）＋3（2x+1）＋2＝0

2

4．解关于x的方程（a－b）x＋（b－c）x＋（c－a）=0（a≠b） 5．不解方程，判别下列方程根的情况：

（1）x2＋5x-1=0；（2）9x2－6x＋1=0；（3）2x2＋1=-x 6．已知两数和为7，积为-6，求两数． 思考并总结：

a为何值时，方程8x2＋（a＋1）x＋（a－8）＝0

2

例13、已知三个连续奇数的平方和为371，求这三个奇数．

例14、有一个直角三角形三边的长为三个连续整数，求三边的长．

练习及答案 一、选择题

1．方程x2

=x的解[ ] A．0 B．1 C．0或1 D．0或-1 2．关于x的一元二次方程（m－1）x2＋x＋（m2＋2m－3）=0有一个根是零，则m的值为[ ] A．1 B．-3 C．1或-3 D．-1或3

3．如果一元二次方程x2＋mx＋n=0的两个根是0和-2，则m＋n等于[ ] A．2 B．4 C．-2 D．-4

4．如果方程2x2-x-3m=0与2x2

＋3x＋m＝0有一个根相同，则m一定等于[ ] A．0 B．1 C．2 D．0或1

5．若c是实数，且x2-3x+c=0的一个根的相反数是x2＋3x－c＝0的一个根，则x2－3x＋c=0的解是[ ] A．1，2 B．-1，-2 C．0，3 D．0，-3 二、填空题

1．方程x（x-4）＝4的根是_____．2．方程（3x－1）2=（2x－3）2

的根是_____． 3．关于t的方程t2－7mt－18m2=0的根是____．

4．关于y的方程y（y＋b－1）=b的根是______． 5．方程9（x+2）2=16的根是______．

6．方程（m2－3）x2

－（m＋1）x＋1=0，当m______时是一元二次方程，其判别式△=_______，m=_______时是一元一次方程．

7．已知方程（2a－b）x2＋（2b－c）x＋2c－a＝0有一个根是1，则a＋b+c=_______．

8．若二次方程k（x－1）2

＋x=2无实数根，则k的最大整数值是______．

三、解答题 1．用配方法解方程2x2

＋7x－4=0 2．用适当的方法解下列方程

（1）4（x＋3）2=25（x－2）2 ；（2）（x-2）（x-3）=1；（3）3x2-7x-6=0

2 1）两根异号 （2）两根均为负根 4）有一根为0（5）两根互为相反数 （3）有一根为1

（6）两根互为倒数,

（ （