高三数学一轮复习 4.2 点、直线、平面之间的位置关学案

高三数学一轮复习 4.2 点、直线、平面之间的位置关学案

【最新考纲透析】

1．理解空间直线\\平面位置关系的定义。 2．了解可以作为推理依据的公理和定理。

3．认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。

4．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。

【核心要点突破】

要点考向1：线线、线面的位置关系

考情聚焦：1．空间直线的位置关系、直线与平面的位置关系是最基本的关系，是高考中重点考查的内容，几乎年年都考。

2．题目基本上以柱体、锥体为背景，重点考查异面直线及线面关系。 3．三种题型均可出现，属较容易或中档题。

考向链接：1．解决此类问题时要特别注意线线平行与垂直、线在平行与垂直、面面平行与垂直间的相互转化。

2．证明线线平行的常用方法：（1）利用定义，证两线共面且无公共点；（2）利用公理4，证两线同时平行于第三条直线；（3）利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行。 3．证明线面平行常用方法：（1）利用线面平行的判定定理把证线面平行转化为证线线平行；（2）利用性质

4．证明线面垂直的方法有： （1）定义； （2）判定定理；

例1：（2010·天津高考文科·Ｔ１9）

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=22，∠BAD＝∠CDA＝45°.

（Ⅰ）求异面直线CE与AF所成角的余弦值； （Ⅱ）证明CD⊥平面ABF；

（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值。

【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力。 【思路点拨】（1）∠CED即为异面直线CE与AF所成角；（2）证明CD垂直于两条相交直线AB、FA;（3）做辅助线构造二面角的平面角。

【规范解答】(I)解：因为四边形ADEF是正方形，所以FA//ED.故?CED为异面直线CE与AF所成的角.因为FA?平面ABCD，所以FA?CD.故ED?CD.

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ED2222在Rt△CDE中，CD=1，ED=22，CE=CD?ED=3,故cos?CED=CE=3.

22所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为3.

(Ⅱ)证明：过点B作BG//CD,交AD于点G，则?BGA??CDA?45.由?BAD?45,可得BG?AB,从而CD?AB,又CD?FA,FA?AB=A,所以CD?平面ABF.

(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得AG=2，即G为AD的中点.取EF的中点N，连接GN，则GN?EF,因为BC//AD,所以BC//EF.过点N作NM?EF，交BC于M，则?GNM为二面角B-EF-A的平面角。

连接GM，可得AD?平面GNM,故AD?GM.从而BC?GM.由已知，可得GM?平面MAB.由NG//FA,FA?GM,得NG?GM.

?GNM?在Rt△NGM中，tan

GM1?NG4,

1所以二面角B-EF-A的正切值为4.

要点考向2：面面位置关系

考情聚焦：1．在高考中，本部分内容几乎年年考查，主要考查学生分析问题、解决问题的能力。

2．题目基本上以棱柱、棱锥为背景，考查面面平行或垂直。 3．选择题、填空题、解答题均可出现，题目难度为低档或中档。

考向链接：1．证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可。从而将面面平行转化为线面平行，再转化为线线平行。

2．证明面面垂直的方法：证明一个面过另一个面的垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决。 例2：（2010·辽宁高考文科·Ｔ19）

如图，棱柱ABC—A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B. (Ⅰ)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1;

（Ⅱ)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D:DC1的值.

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【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】（I）先证明B1C⊥平面A1BC1.再证明平面AB1C⊥平面A1BC1; （II）利用线面平行的性质，得到DE//A1B，判断出D点是中点，从而可解

【规范解答】（I）

侧面BCC1B1是菱形，?B1C?BC1，又已知B1C?A1B，且A1B?B1C?平面A1BC1。又B1C?平面AB1C?平面AB1C?平面A1BC1（II）

BC1＝B设BC1交B1C于点E，连结DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线。因为A1B//平面B1CD，所以A1B//DE，又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点。即A1D:DC1＝1

【方法技巧】

1、证明面面垂直，一般通过证明一个平面经过另一个平面的垂线，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线和哪个平面垂直。

2、证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来，如本题中强调了A1B∩BC1＝B 要点考向3：与折叠有关的问题

考情聚焦：1．空间图形的折叠问题是近几年高考命题的一个新的亮点,它通常与其他知识相结合,能够较好地考查学生的空间想象能力、图形变换能力及识图能力。 2．选择题、填空题、解答题均可出现，尤其解答题为多，属中档题。 例3：（2010·浙江高考文科·Ｔ20）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°。E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F为线段A’C的中点。

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