【典例3】 (2019·河南五校联考)如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场．左侧匀强电场的电场强度大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外；右侧区域匀强磁场的磁感应强度大小也为B，方向垂直纸面向里．一个质量为m、电荷量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程．求：
(1)中间磁场区域的宽度d；
(2)带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间．
1
[解析] (1)带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得：qEL＝mv2
2带电粒子在匀强磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得： v2
Bqv＝m
R
1
由以上两式，可得：R＝ B
2mEL. q
可见粒子在两磁场区域的运动半径相同，如图所示
三段圆弧的圆心组成的△O1O2O3是等边三角形，其边长为2R.所以中间磁场区域的宽度为：
d＝Rsin60°＝
1 2B
6mELq.
(2)在左侧电场中的运动的加速度： qEa＝m
在电场中运动的总时间：
2v2mvt1＝a＝qE＝22mLqE 在中间磁场中的运动时间： T2πmt2＝＝ 33qB
在右侧磁场中的运动时间为： 5πm5
t3＝T＝
63qB
则粒子第一次回到O点所用的时间为： t＝t1＋t2＋t3＝2 1[答案] (1)
2B
2mL7πmqE＋3qB. 6mELq (2)2
2mL7πmqE＋3qB 题型4 应用动力学和能量观点处理电磁感应问题
电磁感应现象是其他形式的能和电能的相互转化，遵循能量守恒定律．涉及能量的电磁感应问题是高考的热点问题，此类题目常涉及楞次定律、右手定则、法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律、动能定理、能量守恒定律等知识，综合性强，题目难度较大，常出现在选择题的最后一题或计算题位置．
【典例4】 在生产线框的流水线上，为了检测出个别不合格的未闭合线框，让线框随传送带通过一固定匀强磁场区域(磁场方向垂直于传送带平面向下)，观察线框进入磁场后是否相对传送带滑动就能够检测出不合格的未闭合线框，其物理情境简化如下：如图所示，通过绝缘传送带输送完全相同的正方形单匝纯电阻铜线框，传送带与水平方向夹角为α，以恒定速度v0斜向上运动．已知磁场边界MN、PQ与传送带运动方向垂直，MN与PQ间的距离为d，磁场的磁感应强度为B.线框质量为m，电阻值为R，边长为L(d>2L)，线框与传送带间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g.闭合线框的上边在进入磁场前线框相对传送带静止，线框刚进入磁场的瞬间，和传送带发生相对滑动，线框运动过程中上边始终平行于MN，当闭合线框的上边经过边界PQ时又恰好与传送带的速度相同．设传送带足够长．求：
(1)闭合线框的上边刚进入磁场时上边所受安培力F安的大小； (2)从闭合线框的上边刚进入磁场到上边刚要出磁场所用的时间t；
(3)从闭合线框的上边刚进入磁场到下边穿出磁场后又相对传送带静止的过程中，电动机多消耗的电能E.
[解析] (1)根据安培力公式得F安＝BIL E
根据闭合电路欧姆定律得I＝
R又由法拉第电磁感应定律得E＝BLv0 B2L2v0
由以上联立可解得F安＝.
R
(2)在线框的上边刚进入磁场到线框的上边刚要出磁场的过程中，取沿斜面向上为正方向，根据动量定理有
μmgcosα·t－mgsinα·t－F根据安培力公式得F安t′＝0
安＝B
－IL
－－E
根据闭合电路欧姆定律得I＝
R－ΔφBL2
根据法拉第电磁感应定律得E＝＝ t′t′由以上联立解得t＝.
mgR?μcosα－sinα?
(3)在线框的上边刚进入磁场到线框的下边刚要出磁场的过程中，由动能定理得(μmgcosα－mgsinα)d＋W安＝0
由功能关系得Q电＝－W安 Qf＝μmgcosα(v0t－d)
从线框上边刚进入磁场到线框穿出磁场后相对传送带静止的过程中，由能量守恒定律得 E＝2mgsinα·d＋2Q电＋2Qf
由以上联立可解得E＝.
R?μcosα－sinα?
B2L2v02μv0B2L3cosαB2L3
[答案] (1)R (2) (3) mgR?μcosα－sinα?R?μcosα－sinα?
专题强化训练(二十二)
1．(2019·河北名校联盟)某工厂用倾角为37°的传送带把货物由低处运送到高处，已知传送带长为L＝50 m，正常运转的速度为v＝4 m/s.一次工人刚把M＝10 kg的货物放到传送带上的A处时停电了，为了不影响工作的进度，工人拿来一块m＝5 kg带有挂钩的木板，把货物放到木板上，通过定滑轮用绳子把木板拉上去．货物与木板及木板与传送带之间的动摩擦因数均为0.8.(货物与木板均可看成质点，g取10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)
2μv0B2L3cosαB2L3
(1)为了把货物拉上去又不使货物相对木板滑动，求工人所用拉力的最大值； L
(2)若工人用F＝189 N的恒定拉力把货物拉到处时来电了，工人随即撤去拉力，求此
5时货物与木板的速度大小；
(3)来电后，还需要多长时间货物能到达B处？(不计传送带的加速时间)
[解析] (1)设最大拉力为Fm，货物与木板之间的静摩擦力达到最大值，设此时的加速度为a1，对货物分析，根据牛顿第二定律得
μMgcosθ－Mgsinθ＝Ma1，代入数据得a1＝0.4 m/s2. 对货物与木板整体分析，根据牛顿第二定律得
Fm－μ(m＋M)gcosθ－(m＋M)gsinθ＝(m＋M)a1，得Fm＝192 N. (2)设工人拉木板的加速度为a2，根据牛顿第二定律得
F－μ(m＋M)gcosθ－(m＋M)gsinθ＝(m＋M)a2，得a2＝0.2 m/s2. 设来电时货物与木板的速度大小为v1，根据运动学公式得 L
v21＝2a2， 5
代入数据得v1＝2 m/s.
(3)由于v1<4 m/s，所以来电后货物与木板继续加速，设加速度为a3，则有μ(m＋M)gcosθ－(m＋M)gsinθ＝(m＋M)a3，
代入数据得a3＝0.4 m/s2.
设经过t1货物与木板的速度和传送带速度相同，v＝v1＋a3t1，得t1＝5 s. 设t1时间内货物与木板加速的位移为x1，v2－v21＝2a3x1，得x1＝15 m.
共速后，木板与传送带相对静止一起匀速运动，设匀速运动的时间为t2，匀速运动的位L
移为x2，则x2＝L－－x1；
5
得x2＝25 m x2又t2＝v
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