解析：设P(x，y)，R(a,2a－4)，则RA―→＝(1－a,4－2a)，AP―→＝(x－1，y)． ∵RA―→＝AP―→，
??1－a＝x－1，∴???4－2a＝y，
消去a得y＝2x.
答案：y＝2x
y2
14．已知二次曲线＋＝1，当m∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是
4m________．
解析：∵m∈[－2，－1]，
x2
y2
∴曲线方程化为－＝1，曲线为双曲线，
4－m∴e＝答案：
4－m56
.∵m∈[－2，－1]，∴≤e≤. 22256， 22
x2
三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
x2y2
15．(本小题满分10分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线2－2＝1(a＞0，
abb＞0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点
??P?，6?，求抛物线的方程和双曲线的方程．
?
解：依题意，设抛物线的方程为y＝2px(p＞0)，
2
3?2
?3?∵点P?，6?在抛物线上， ?2?
3
∴6＝2p×，∴p＝2，
2∴所求抛物线的方程为y＝4x.
∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上， ∴c＝1，即a＋b＝1.
2
2
2
?3?又∵点P?，6?在双曲线上， ?2?
∴
96
2－2＝1， 4ab2
2
a＋b＝1，??
解方程组?96
2－2＝1，??4ab
5
1a＝，??4得?3
b＝??4，22
??a＝9，
或?2
??b＝－8
2
(舍去)．
422
∴所求双曲线的方程为4x－y＝1.
3
16．(本小题满分12分)已知抛物线方程为y＝2x，在y轴上截距为2的直线l与抛物线交于M，N两点，O为坐标原点．若OM⊥ON，求直线l的方程．
解：设直线l的方程为y＝kx＋2，
??y＝2x，由?
?y＝kx＋2，?
2
2
消去x得ky－2y＋4＝0.
2
∵直线l与抛物线相交于M，N两点，
??k≠0，∴???Δ＝4－16k＞0，
1
解得k＜且k≠0.
4设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 4
则y1y2＝，
k4
从而x1x2＝·＝2.
22k∵OM⊥ON， ∴x1x2＋y1y2＝0，
44
即2＋＝0，解得k＝－1符合题意，
y2y212
kk∴直线l的方程为y＝－x＋2.
17．(本小题满分12分)已知椭圆C的焦点F1(－2，0)和F2(2，0)，长轴长为4，设直线y＝x＋2交椭圆C于A、B两个不同的点．
(1)求椭圆C的方程； (2)求弦AB的长．
解：(1)∵椭圆C的焦点为F1(－2，0)和F2(2，0)，长轴长为4， ∴设所求椭圆的方程为
x2y2
＋＝1(a>b>0)， a2b2
则依题意有a＝2，c＝2， ∴b＝a－c＝2.
6
2
2
2
2
∴椭圆C的方程为：x2＋y42
＝1.
?22
(2)联立?x?4＋y2
＝1，
??y＝x＋2，
消去y得3x2
＋8x＋4＝0，
设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则由根与系数的关系有
x841＋x2＝－3，x1x2＝3
，
所以由弦长公式： |AB|＝＋k2
x1＋x2
2
－4x1x2]
＝2
??－8??2?
－4×43＝423?3. 18．(本小题满分12分)已知椭圆x2y2
3
4＋9＝1及直线l：y＝2x＋m，(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； (2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值． ?y＝3
x解：(1)由??2
＋m，x2
y2
??4＋9＝1，
消去y，并整理得
9x2
＋6mx＋2m2
－18＝0.① 上面方程的判别式
Δ＝36m2
－36(2m2
－18)＝－36(m2
－18)． ∵直线l与椭圆有公共点，
∴Δ≥0，据此可解得－3 2≤m≤3 2. 故所求实数m的取值范围为[－3 2，3 2]． (2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 2
由①得：x＋x6m2m－18
12＝－9，x1x2＝9，
故|AB|＝1＋k2 x21＋x2
－4x1x2
＝ 1＋??3?2
2
?2?????－6m?2?
－4×2m－189?9 ＝
133
－m2
＋18， 7
当m＝0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为26.
19．(本小题满分12分)设有一颗彗星绕地球沿一抛物线型轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为d(万千米)时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为60°，求这颗彗星与地球的最短距离．
解：设彗星的轨道方程为y＝2px(p>0)，
焦点为F(，0)，彗星位于点P(x0，y0)处，直线PF的方程为y＝3?x－?，
2?2?
2
p?
p?y＝2px，??
解方程组??x－p?，
y＝3?2?????
2
2
消去y得12x－20px＋3p＝0. 3p得x＝p或x＝，
263pp故x0＝或x0＝.
26
2
p2
由抛物线定义得|PF|＝x0＋＝2p或|PF|＝p.
23d3
由|PF|＝d，得p＝或p＝d，
22
由于抛物线的顶点是抛物线上距离焦点最近的点，而焦点到抛物线顶点的距离为，所213
以彗星与地球的最短距离为d万千米或d万千米(p点在F点的左边与右边时，所求距离取
22不同的值)．
px2y26
20．(本小题满分12分)已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，过点A(0，－b)
ab3
和B(a,0)的直线与原点的距离为
(1)求椭圆的方程．
(2)已知定点E(－1,0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆交于C，D两点，问：是否存在
3. 2
k的值，使以CD为直径的圆过E点，请说明理由．
解：(1)直线AB方程为：bx－ay－ab＝0.
8
??c＝a－b，依题意?
ab3
＝，??a＋b2
2
2
2
2
2
c6＝，a3
2
2
解得?
?a＝3，?b＝1.
∴椭圆方程为＋y＝1.
3(2)假若存在这样的k值，由?(1＋3k)x＋12kx＋9＝0. ∴Δ＝(12k)－36(1＋3k)＞0.① 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
2
2
2
x2
2
??y＝kx＋2，
2
??x＋3y－3＝0，
得
??
则?9
x·x＝.??1＋3kx1＋x2＝－1
2
2
2
12k2，1＋3k
②
而y1·y2＝(kx1＋2)(kx2＋2) ＝kx1x2＋2k(x1＋x2)＋4.
要使以CD为直径的圆过点E(－1,0)，当且仅当CE⊥DE时，则即y1y2＋(x1＋1)(x2＋1)＝0.
∴(k＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝0.③
777
将②式代入③整理解得k＝.经验证k＝使①成立．综上可知，存在k＝，使以CD为
666直径的圆过点E.
2
·＝－1，
x1＋1x2＋1
y1y2
9
相关推荐：
loading