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浙教版九年级全册
初中数学
全册知识点梳理及重点题型巩固练习
二次函数y=ax(a≠0)与y=ax+c(a≠0)的图象与性质—知识讲解（提高）
【学习目标】
1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；
2．会用描点法画出二次函数y=ax(a≠0) 与y?ax?c?a?0?的图象，并结合图象理解抛物线、对称
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2轴、顶点、开口方向等概念；
3. 掌握二次函数y=ax2(a≠0) 与y?ax?c?a?0?的图象的性质，掌握二次函数y?ax22?a?0?与
（上加下减）. y?ax2?c?a?0?之间的关系；
【要点梳理】
要点一、二次函数的概念 1.二次函数的概念
2
一般地，形如y=ax+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数. 若b=0，则y=ax+c； 若c=0，则y=ax+bx； 若b=c=0，则y=ax.
以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①
（a≠0）；②
（a≠0）；③
（a≠0）；④
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（a≠0），其中；⑤（a≠0）.
要点诠释：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 2.二次函数解析式的表示方法
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1. 一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）；
2. 顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）；
3. 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）（或称交点式）. 要点诠释：
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
要点二、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质 1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象
用描点法画出二次函数y=ax（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线。
因为抛物线y=x关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x有最低点，所以函数y=x有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.
2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法
用描点法画二次函数y=ax（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确. 要点诠释：
二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c（a≠0）的图象．
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质
二次函数y=ax（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 2
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y=ax a>0 2向上 （0，0） y轴 x>0时，y随x 当x=0时，增大而增大； y最小=0 x<0时，y随x增大而减小. y=ax a<0 2向下 （0，0） y轴 x>0时，y随x 当x=0时，增大而减小； y最大=0 x<0时，y随x增大而增大.
要点诠释：
顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.
│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，?图象两边越靠近x轴. 要点三、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质 1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象 （1）a?0
（2）a?0
y jy jy?ax2?c?c?0?
cy?ax2?c?c?0?
O x
O x
c yj c yj O O x
c x
y?ax?c?c?0?
2 y?ax2?c?c?0?
2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质
关于二次函数y?ax?c(a?0)的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减
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性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：
函数 y?ax2?c(a?0,c?0) y?ax2?c(a?0,c?0) 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 3.二次函数y?ax2?a?0?与y?ax2?c?a?0?之间的关系；（上加下减）.
【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到y?ax2?c?a?0?的y?ax2?a?0?的图象向上（c＞0）图象.
要点诠释：
抛物线y?ax?c(a?0)的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线y?ax(a?0)的形状相同．
函数y?ax?c(a?0)的图象是由函数y?ax(a?0)的图象向上（或向下）平移|c|个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．
抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．
【典型例题】
2222 向下 (0，c) y轴 当x?0时，y随x的增大而减小； 当x?0时，y随x的增大而增大. 当x?0时，y最大值?c 向上 (0，c) y轴 当x?0时，y随x的增大而增大； 当x?0时，y随x的增大而减小. 当x?0时，y最小值?c 类型一、二次函数的概念
1. (1)当m＝________时，函数y?(m?1)x2m?1?4x?5是二次函数?
2m?1 (2)当m＝________时，函数y?(m?1)x【答案】 (1)
?4x?5是一次函数?
11 ； (2)0或-1或?. 221??2m?1?2,1?m?,【解析】 (1)依题意有? 解之得?2，∴ m?．
2?m?1?0,?m??1,?资料来源于网络 仅供免费交流使用
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故当m?12m?1?4x?5是二次函数． 时，函数y?(m?1)x22m?1 (2)若原函数是一次函数，则(m?1)x是一次项或常数项，从而可分三种情况考虑．
①??2m?1?1,?m?0,解得? 即m?0．
m?1?4?0,m??5,??1． 2 ②m+1＝0，即m＝-1． ③2m+1＝0，即m??【总结升华】此题根据二次函数和一次函数的定义，确定m的值．(1)题关键要考虑两点：一是自变量
的最高次数，二是最高次项系数不为零．(2)题运用了分类讨论思想，讨论时应防止重复和遗漏． 举一反三：
【变式】若y?(a?1)x(3a【答案】-1；
提示：根据题意得：3a﹣1=2；
解得a=±1； 又因a﹣1≠0； 即a≠1； ∴a=﹣1．
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2?1)是关于x的二次函数，则a= ．
类型二、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质
2. 二次函数y?22x的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2013在y轴的322若△A0B1A1，△A1B2A2，x位于第一象限的图象上，
3正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2013在二次函数y?△A2B3A3，…，△A2012B2013A2013都为等边三角形，求△A2012B2013A2013的边长．
【答案与解析】
如图所示，作B1C1⊥y轴，垂足为C1．
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