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第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案
一、单项选择题
1．下面函数与y?x为同一函数的是（ ） 解：
，反之不成立，（如??1?xn?M）
?n?1?有界，
但不收敛，
选A 6．当n??时，sin则k= （ ）
211与k为等价无穷小，nny?lnex?xlne?x，且定义域
???,???， ∴选D
2．已知?是f的反函数，则f?2x?的反函数是（ ）
解:令y?f?2x?,反解出x：x?换x，y位置得反函数y?1 B 1 C 2 D -2 211sin2n?limn2?1，k?2 选C 解：limn??n??11nknk A
二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设f?x??为
解： ∵f??f?x????1?f?x??1??y?,互21??x?，选A 21，则f??f?x???的定义域1?x3．设f?x?在???,???有定义，则下列函数为奇函数的是（ ） 解：
1111?1?x
y?x3f?x2?的定义域???,???且
3y??x????x?f?x2???x3f?x2???y?x?∴选C
4．下列函数在???,???内无界的是（ ）
∴f??f?x???定义域为 8．设f(x?2)?x?1, 则f(x?1)?
解：（1）令x?2?t,f?t??t?4t?5
22xx1解: 排除法：A 有界，??21?x2x2Barctanx??2（2）f?x?1??(x?1)?4(x?1)?5?x?6x?10
22有界，C sinx?cosx?2
9．函数y?log4 故选D 5．数列?xn?有界是limxn存在的（ ）
n??x?log42的反函数是
2y?1解：（1）y?log4(2x)，反解出x：x?4（2）互换x,y位置，得反函数y?410．limnn??2x?1
A 必要条件 B 充分条件
C 充分必要条件 D 无关条件 解：
?xn?收敛时，数列xn有界（即
?n?1?n?2?
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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 解：原式
有理化n??lim3nn?1?n?2?
? ?3?f1????2????2211．若lim?1??n???5??n??kn 故f?x??21?x2
15．设f?x??lnx，g?x?的反函数
???e?10,
则k?
lim5(?kn)解：左式=en??n?e?5k?e?10 故
g?1?x??2?x?1?，求f?g?x??
x?1k?2
3n2?52sin= 12．limn??5n?3n解: （1） 求g(x):解出
y?2x?2 ∴反
x?1x：xy?y?2x?2x?y?2
y?2 解：当n??时，sin22～ ∴原式nnx?2 x?2 (2)f?g?x???lng?x??lnx?2
??x?2互换x,y位置得g(x)?16．判别f?x??lnx?1?x2的奇偶性。
??3n2?526?= =limn??5n?3n5三、计算题（每小题8分，共64分）
解法（1）：f?x?的定义域???,???，关于原点对称
arcsin13．求函数y?2x?17的定义域 x?1?f?x??ln(x?1?x2)为奇函数
解法（2）：
f?x??f??x?
?f??x???f?x? 故f?x?为奇函数
解：
??1?2x?1?1?3?x?4 7???x?1?0x?1或x??1???17．已知f?x?为偶函数，g?x?为奇函数，
∴函数的定义域为??3,?1)?1,4? 14．设f?sin???x???1?cosx 求f?x? 2?解：
x??2x2x?f?sin?2cos?21?sin????
2?2??2?1，求f?x?及g?x? x?11解： 已知f(x)?g(x)?????
x?11f(?x)?g(?x)?即有
?x?111? ??????2?得2f?x??x?1x?1且f?x??g?x??2word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。
文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 故 f(x)?1 x2?111 ?x?1x?1（2）讨论f3?x?的奇偶性
?????2?得2g?x??故g(x)??f3?x?为奇函数
（3）讨论f3?x?的有界性
x 2x?1n3?n?2a?18．设lim???8，求a的值。 n???n?a?解：
f3?x??n3x1?3x2?x3x?13
3a??n?2a??lim??lim1????n??n???n?a??n?a?n3n
?f3?x?有界
22．从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为?的扇形做成一个漏斗（如图），试将漏斗的容积V表示成中心角?的函数。
解：（1）列出函数关系式，设漏斗高为h，底半径为r，依题意：漏斗容积V=?rh
故a?ln8?3ln2
?1?11????19．求lim? ??n???1?22?3n?n?1???1k?1?k?解：（1）拆项，
k(k?1)(k?1)k?nlim1???1n??n?1（2）原式=lim?1? ?e?e?n???n?1?n1324?2????R2??故V? ?R234?2?（2）函数的定义域
20．设f?x??a求limx?a?0,a?1?,
1ln??f?1??f?2??f?n??? n??n2R3??4?2????0?????? 故V?224?五、证明题（每小题9分，共18分） 23．设f?x?为定义在???,???的任意函数，证明f?x?可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。 证：(1) f?x??解： 原式=lim112nlna?a?a??
n??n2x1?x2四、综合题（每小题10分，共20分） 21．设f?x?=，求f3?x?=
f?x??f??x?2?f?x??f??x?2
ff??f?x???并讨论f3?x?的奇偶性与有
界性。
解：（1）求f3?x?
(2)令g?x????f?x??f??x?????x????
2?g?x?为偶函数
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