考试知识点归类及串讲
（一）单项选择题 一、函数部分
1. 定义域（尤其是分段函数；已知一个函数的定义域，求另一个的定义域；函数的相同；反函数）
2?ln(x?1),1?x?2?如：设函数f(x)??，则f(x)的定义域为（）
2??9?x,2?x?3A 1?x?3 B 1?x?3 C 1?x?2或2?x?3 Dx?1或x?3 函数y?9?x2?arcsin(2x?5)定义域
已知f(2x?1)的定义域为[0,1],则f(x)的定义域为（） A [1/2,1] B [-1,1] C[0,1] D [-1,2] 设f(1?x2)的定义域为?1,5?，则f(x)的定义域为________ 下列函数相等的是 A y?1,y?x B y?x(x2?4),y?x?2x?2 C y?x,y?cos(arccosx) D y?x2,y?|x|
函数y?(4x?3)2（x?0）的反函数是________
?函数图像的对称轴（复合函数的奇偶性）2.函数的性质?
?函数的有界性如：f(x)?ln1?x（(?1,1)内奇函数？） 1?x已知f(x)不是常数函数，定义域为[?a,a]，则g(x)?f(x)?f(?x)一定是____。 A 偶函数 B 奇函数 C 非奇非偶函数 D既奇又偶函数
下列函数中为奇函数的是_________。
ex?e?xsin2x B f(x)?xtanx?cosx A f(x)?2 C f(x)?ln(x?x2?1) D f(x)?x 1?x3.函数的表达式、函数值（填空）
如：设f(x)为(??,??)上的奇函数，且满足f(1)?a,f(x?2)?f(x)?f(2)，则f(2)?_________ 二、重要极限部分
1lim(1?)?1, lim(1?)?1
?0??1limsin3x21?3；lim(1?)x?e2，lim(1?)x?0x??x???xxxx?lim(1?x???1x1)(1?)xxx?e?1?1?1
三、无穷小量部分
1.无穷小量的性质：无穷小量乘有界仍为无穷小
2.无穷小量（大量）的选择
3.无穷小量的比较（高阶、低阶、等价、同阶） 如 n??时与sin如设f(x)?31等价无穷小量是（） n?sinx0t2dt,g(x)?x3?x4,则当x?0时，f(x)是比g(x)的（）
x?0时，无穷小量2x?3x?2是的（） x?0时，1?x?1?x是的（）
4.无穷小量的等价替代 四、间断点部分
1. 第Ⅰ类间断点（跳跃间断点、可去间断点） 2. 第Ⅱ类间断点（无穷间断点） 如 点x?0是函数y?ex?1x的（）
1??x?1函数f(x)??e,x?0则x?0是（）
??ln(1?x),?1?x?01??cosx?xsin,x?0若f(x)??则x?0是f(x)的（） x?ex?1,x?0?五、极限的局部性部分 1.极限存在充要条件
2.若limf(x)?A?0(?0),则存在的一个邻域U(x0,?)，使得该邻域内的任意点，有f(x)?0(?0)
x?x0如 f(x)在点x?x0处有定义，是当x?x0时，f(x)有极限的（）条件 若f(1)?0，limf(x)?2，则f(x)在x?1处（）（填 取得极小值）
x?1(x?1)2六、函数的连续性部分
1?x?1.连续的定义 如设f(x)??(1?x),x?0在点x?0处连续，则（）
??k,x?0?1?sinx,x?0设函数f(x)??x在???,???内处处连续，则=________.
??a,x?02.闭区间连续函数性质：
零点定理（方程f(x)?0根存在及个数）
如 方程x?x?1?0，至少有一个根的区间是 ( ) (A)(0,) (B)(,1) (C) (2,3)(D)(1,2) 最大值及最小值定理
41212如设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)?f(b)，但f(x)不恒为常数，则在(a,b)内（）
A 必有最大值或最小值 B 既有最大值又有最小值 C 既有极大值又有极小值 D 至少存在一点使得f?(?)?0 七、导数定义
lim?0f(x?)?f(x)?f?(x),limx?x0f(x)?f(x0)?f?(x0)
x?x0f(1?2x)?f(1)?
x?0xf(x)f(x)? 设 f(1)?0，且极限lim存在，则limx?1x?1x?12x?2xf(x?h)?f(x)? 设函数f(x)??(3t2?sint)dt,则lim1h?0hf(a)?f(a?h)?________. 设f?(a)?3，则limh?0hf(3?h)?f(3)?________. 已知f?(3)?6,则limh?02h如 f(x)在点x?1可导，且取得极小值，则lim求高阶导数（几个重要公式）
?1(n)(?1)nn!(n)(sinx)?sin(x?n) ；()?n?12x?c(x?c)如 设y?1?x，则 y?n?? 1?x(A) 2?n!1?1?x?n(B) n!1?1?x?n?1C) ??1?2?n!n1?1?x?n?1 (D)2?n!1?1?x?n?1
八、极值部分
极值点的必要条件（充分条件），拐点的必要条件（充分条件）
如 函数y?f(x)在点x?x0处取得极大值，则必有（）f?(x0)?0或不存在 设函数y?f(x)满足f??(x)?xf?(x)?1?ex，若f?(x0)?0，则有（）
设y?f(x)是方程y???2y??4y?0的一个解，若f(x0)?0,且f?(x0)?0,则函数在有极（）值 设函数f(x)满足f?(x)?3?ex，若f?(x0)?0,则有（）f(x0)是f(x)的极大值 九、单调、凹凸区间部分
f?(x)?0，函数在相应区间内单调增加；f??(x)?0，则区间是上凹的
如 曲线y?xe?x?3x?1的上凹区间为（）(2,??) 曲线y?x4?24x2?6x的下凹区间为（） 十、渐近线
水平渐近线limf(x)?A,y?A为水平渐近线；limf(x)??，x?x0为垂直渐近线
x??x?x0lnxex如 函数y?的垂直渐近线的方程为____ 曲线y?3的水平渐近线为_______.
x?2x?1ex曲线y?既有水平又有垂直渐近线？ 曲线y?x十一、单调性应用
1x?x2的铅锤渐近线是_________.
设f(a)?g(a)，且当x?a时，f?(x)?g?(x)，则当x?a必有（）
已知函数f?x?在区间?1??,1???内具有二阶导数，f??x?严格单调减少，且f?1??f??1??1，则 有 (A) 在?1??,1?和?1,1???内均有f?x??x (B)在?1??,1?和?1,1???内均有f?x??x(C) 在?1??,1?内f?x??x，在?1,1???内
f?x??x (D)在?1??,1?内f?x??x，在?1,1???内f?x??x
十二、中值定理条件、结论、导数方程的根
如 函数f(x)?x3?2x在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，则定理中的为（） 设f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)，则f?(x)?0实根个数为（）
设函数f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内f??(x)?0，则在(a,b)内等式f?(?)?存在 B不存在 C 惟一D 不能断定存在 十三、切线、法线方程 如 曲线?f(b)?f(a)成立的_________ A
b?a?y?sin2t在t??处的法线方程为（）
4?x?cost设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)?f(b)，则曲线y?f(x)在(a,b)内平行于轴的切线（）（至少存在一条）
十四、不定积分部分
1. 不定积分概念（原函数）如 F(x),G(x)都是区间内的函数f(x)的原函数，则F(x)?G(x)?C 2. 被积函数抽象的换元、分部积分 如 设lnf(t)?cost,
则t?f?(t)dt?lnf(t)t??lnf(t)dt?tcost??costdt?tcost?sint?c f(t)若f(x)?ex，则
?f?(lnx)dx?f(lnx)?c?elnx?c?x?c x设f(x)连续且不等于零，若
?f(x)dx?arctanx?c，
dxx32则??(1?x)dx?x??c
f(x)?3若f?(ex)?1?x,则 f(x)?
令t?ex,x?lnt?f?(t)?1?lnt，即f?(x)?1?lnx，故f(x)?xlnx?c 十五、定积分部分
?0. 定积分的平均值：
baf(x)dxb?ax（填空）
1. 变上限积分 如设f(x)?令u?t?x,f(x)??0sin(t?x)dt 求f?(x)（知道即可）
?0?xsinudu?f?(x)??sinx
?2. 定积分等式变形等 若f(x)为连续函数，则
?10f(x)dx??2f(sinx)cosxdx
0设f(x)在[?2,2]上连续，则令t?2x,?1?1[f(2x)?f(?2x)]dx
22?20?1?1[f(2x)?f(?2x)]dx??[f(t)?f(?t)]1/2dt??[[f(t)?f(?t)]]dt
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则
?baf(x)dx??f(t)dt?()
ab?|x(2x?1)|dx
01十六 广义积分部分
1.无穷限广义积分 如 广义积分
???2??1dx111x?1???[?]dx?ln|||2
x2?x?2?23x?1x?23x?22. 暇积分（无界函数的积分，知道即可）
01111111dx?dx?dxdx?lnx| 而0不存在，不收敛 ??1x??1x?0x?0x1十七、空间解析几何部分 1. 方程所表示的曲面
注意：缺少变量的方程为柱面；旋转曲面的两个变量系数相等；抛物面、锥面可用截痕法判别 如 方程：x2?y2?z?0在空间直角坐标系内表示的二次曲面是（）旋转抛物面 在空间直角坐标系下，方程x2?4(y?1)2?0表示（）
x??2(y?1)两条直线，所以两个平面
方程x2?y2?z2?0在空间直角坐标系内表示的二次曲面是（）圆锥面 2. 直线与直线、直线与平面等位置关系 直线??x?2y?z?5?0x?1y?0z?2与直线的位置关系（）不平行也不垂直 ??335?2x?y?z?6?0?4444?4 53. 数量积、向量积概念
已知|a|?1,|b|?5,a?b?3,|a?b|?|a||b|sin??54. 投影曲线方程
22??z?x?y空间曲线C：?在xoy平面上的投影曲线方程_______________ 22??z?2?(x?y)十八、全微分概念
1.偏导数概念
设 f(x,y)在点（a,b）处有偏导数存在， 则有limf(a?h,b)?f(a?h,b)f(a?h,b)?f(a,b)?f(a,b)?f(a?h,b)?lim
h?0h?0hhf(a?h,b)?f(a,b)?fx?(a,b)?lim?2fx?(a,b)
h?0h设函数z?x2ln(x2?y2),则2.全微分
?z2y?x22 ?yx?y2设z?exy?3ln(x?y),则dz|(1,2)
dz?(yexy?33)dx?(xexy?)dy?dz|(1,2)?(2e2?1)dx?(e2?1)dy x?yx?y十九、二元极值部分
0. 极限连续 1. 驻点 2. 极值点 要使函数f(x,y)?2?x2?y2?4x?y22在点?0,0?处连续，应补充定义f(0,0)?____。
A B 4 C
11 D ? 44二元函数f(x,y)?4(x?y)?x2?y2,则(2,?2)是（）极大值点 二十、二重积分部分
1. 交换积分次序 设I??dx?042xxf(x,y)dy,交换积分次序后，I??dy?y2f(x,y)dx,
044y积分区域 注意，先画出草图2. 化为极坐标形式
把积分
?ady?a2?y2?f(x,y)dx化为极坐标形式为（）?2d??f(rcos?,rsin?)rdr
a0000积分区域 也是应先画出草图 设f(x,y)在上连续，则
??x[??f(x,y)d?]?________ DA
???fd? B??f(x,y)d? C 0 D f(x,y) D?xD二十一、曲线积分部分（一个选择题）
1. 对弧长曲线积分2.对坐标的曲线积分 设
为
抛物
线
x?1?y2?2y上从点
A(1,到
点
?y(xey?2y)dy??2L(e?x)dx?0(ey?2y)dy?e2?5
注意1. 与路径无关的条件即
?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy中有Py??Q?x； 格林公式 2. 下限对应于起点参数
是圆弧：x?acost,y?asint,a?0,0?t??2,
?则
?Lxyds??20acostasinta2dt?a31/2
注意：下限一定小于上限参数
二十二、级数部分
1. 收敛性问题（绝对还是条件）：常数项级数；幂级数在某点收敛 2. 幂级数和函数问题
注意几个函数展开式公式（看教材：六个重要公式） ?如 级数
?a(nnx?1)在x??1处收敛，则此级数在x?2处（）绝对收敛
n?1?如 幂级数?2nxn2xn!的和函数为（）e?1、
n?1?必要条件 已知级数?ln(n!)ln(n!)sin(n3)3收敛，则lim? n?1nn??n3B(1,的
一段弧则
，若
1发散，则的取值范围是_______？ ?n1?an?1?二十三、微分方程部分
1. 通解问题（一阶可分离、齐次、线性等） 2. 特解问题（二阶常系数非齐次方程）
函数y?Ccos（是微分方程y???y?0的（） xC为任意常数）把代入y???y?0成立，但只有一个独立常数，只能说明是解
设函数y?f(x)是微分方程y???2y??4y?0的一个解，且f(x0)?0,f?(x0)?0，则f(x)在点处（）有极大值 把y?f(x)代入得f??(x)?2f?(x)?4f(x)?0，再令x?x0即可
函数y?y(x)图形上点（0,-2）的切线为2x?3y?6，且y(x)满足微分方程y???6x,则此函数为（） 注意
y?|x?0?2/3,y|x?0??2y?x3?2/3x?2
设y1,y2是微分方程y???p(x)y??q(x)y?0的两个解，则y?c1y1?c2y2(c1,c2为任意常数)是（） A 该方程的通解B 该方程的解C 该方程的特解D 不一定是方程的解 （二）填空题
一、计算函数值、表达式
2??xf(x)??2??x?xx?0x?0，则f(?x)?
?2?x设g(x)???x?2?x2x?0；f(x)??x?0??xx?0，则g(f(x))? （知道即可） x?0已知f(lnx)?x2?3x?5，则f(x?1)? 二、计算极限（等价无穷小替换、重要极限等）
xxx?2?3x?1，lim?_________ lim?limx???(1?x)xx?1sin2(x?1)x?12(x?1)(x?2?3)已知当x?0时，f(x)与1?cosx等价，则limx?0f(x)?
xsinx三、连续区间、切线方程、渐近线
曲线f(x)?xlnx的平行于直线y?x?2的切线方程为（）切点为（1,0）
x2?1函数f(x)?2的连续区间为（）
x?3x?2设y?f(x)在点x?c处可导，且在此点处取得极值，则曲线y?f(x)在点x?c处的切线方程为________ 四、微分、单调区间
设函数y?f(?x2),且f(x)是可微函数，则dy?
设函数y?f(x)由方程e2x?y?y所确定，则dy? 函数f(x)?x?xlnx的单调递减区间为（）（0,e?2） 五、极值问题 函数f(x)??x1t?1dt的极小值为（） t1?e2六、不定积分 若
?f(x)dx?F(x)?c则?xf(1?x)dx?
七、定积分 设f(x)连续，则
e?a?ax[f(x)?f(?x)?x]dx?
?1(1?lnx)4dx? x八、投影方程、位置关系
?x2?y2?4曲面z?x?y与平面z?4的交线在xoy面上的投影方程为（）?
?z?022九、偏导数、全微分 十、二重积分
十一、展开成幂级数 函数f(x)??1展开为x?1的幂级数为（） x?(x?1)nx?1n?1,3幂级数?收敛区间（域）为（）实际上()等比级数 ?n22n?1n?1十二、特解形式
利用待定系数求微分方程y???2y??3y?3x?1的特解应设为（） （三）计算题
一、求极限 二、求导数 三、求不定积分 四、定积分
五、隐函数求全微分 六、二重积分
七、展开成幂级数，并求收敛区间 八、求微分方程的通解 （四）应用题
一、求面积及旋转体的体积（几何问题）
二、多元函数求最值（几何问题、简单经济问题）
（五）证明题：不等式、积分等式、变上限函数的奇偶性、方程根的讨论
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