排列组合及二项式定理
【基本知识点】
1.分类计数和分步计数原理的概念
2．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（m?n）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．．．．．． 3．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（m?n）个元素的所有排列的个数叫做从
mn个元素中取出m元素的排列数，用符号An表示 m4．排列数公式：An?n(n?1)(n?2)(n?m?1)（m,n?N?,m?n）
5.阶乘：n!表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘规定0!?1． 6．排列数的另一个计算公式：An=
mn! (n?m)!7.组合概念：从n个不同元素中取出m?m?n?个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 8．组合数的概念：从n个不同元素中取出m?m?n?个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cn表示． ．．．
m9.组合数公式：
Anmn(n?1)(n?2)(n?m?1)C?m?Amm!mn或
Cmn?n!(n,m?N?,且m?n) m!(n?m)!mn?m010.组合数的性质1：Cn?Cn．规定：Cn?1；
11.组合数的性质2：Cn?1＝Cn+Cnn
0n
mmm?1 Cn+Cn+…+Cn=2
01nn
12.二项式展开公式：(a+b)=Cna+Cnab+…+Cnab+…+Cnb 13．二项式系数的性质：
2nr1(a?b)n展开式的二项式系数是Cn0，Cn，Cn，…，Cn．Cn可以看成以r为自变量的函数
1n-1kn-kknn
f(r)，定义域是{0,1,2,,n}，
mn?m（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵Cn?Cn）．
（2）增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项
n2nCn?12n，Cn?12n取得最大值．
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n1（3）各二项式系数和：∵(1?x)?1?Cnx?n012令x?1，则2?Cn?Cn?Cn?r?Cn?rr?Cnx?n?Cn ?xn，
【常见考点】
一、可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数
（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？
（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）3（2）4 （3）4
二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
（4）A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有
4【解析】：把A,B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，A4?24433种
（5）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96
【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，
2222C3A2A4A2=432 种
其中男生甲站两端的有A2C3A2A3A2=144，符合条件的排法故共有288
三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，
再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
（6）七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
52【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为A5种，再用甲乙去插6个空位有A6种，不同的排
122222 / 9
52法种数是A5A6?3600种
（7） 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答） 【解析】： A7A8A9=504
（8）马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的 二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
3【解析】：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C5种方
111法,所以满足条件的关灯方案有10种.
四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元 素；再排其它的元素。
（9）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四 人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作， 其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ） A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种
23【解析】：方法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法。A3A3?36
113 方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法C2C2A3?24；若小张、小赵都入选，则
有
22选法A2A3?12，共有选法36种，选A.
（10）1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
14【解析】：老师在中间三个位置上选一个有A3种，4名同学在其余4个位置上有A4种方法；14所以共有A3A4?72种。.
五．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。 （11） 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ） A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种 （12）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为 （A）A15A10
551555535553（B）A15A10A5A3 （C）A15 （D）A15A10A5?A3
（13）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个
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元素排在后排，有多少种不同排法？
【解析】：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共
6A6?720种，选C.
（2）答案：C
2（3）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A4种，某1个元素排在后半15段的四个位置中选一个有A4种，其余5个元素任排5个位置上有A5种，故共有125A4A4A5?5760种排法.
六．定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.
（14）A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）
【解析】：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即
15A5?60种 2（15）书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法？
【解析】：法一：A9 法二：
319
A9 6A6
七．标号排位问题（不配对问题） 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定 排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
（16） 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每 个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种
【解析】：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填 入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×
1=9
种填法，选B.
（17）编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中 有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ）
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