∴∠BON=2∠AON=30°, ∴∠A'OB=90°.
又∵MN=4,∴OB=OA'=2.
在Rt△A'OB中,由勾股定理得A'B= 22 22=2 2.
1
∴PA+PB的最小值是2 2.
提升能力
9.
,点M是AB上一动点,下列结 (2018·四川雅安)如图,AB,CE是圆O的直径,且AB=4,
论:①∠CED=∠BOD;②DM⊥CE;③CM+DM的最小值为4;④设OM为x,则S△OMC= x,上述结论中,正确
的个数是( ) A.1个 答案B 解析①
B.2个
C.3个
D.4个
因为 ,所以∠COD=∠BOD,所以∠CED=2∠BOD,正确;②M是直径AB上一动点,而CE是固定的,因此DM⊥CE不一定成立,错误;③因为DE⊥AB,所以D和E关于AB对称,因此CM+DM的最小值在M和
1
O重合时取到,即为CE的长.因为AB=4,所以CE=AB=4,③正确;④连接AC,因为 ,所以∠COA=60°,则△AOC为等边三角形,边长为2,过C作CN⊥AO于N,则CN= 3,在△COM中,OM为底,CN为OM边上的高,所以S△COM=x,故④错误.故选B. 10.
32
(2018·江苏无锡)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB=17,CD=10,∠A=90°,co B=5,求AD的长. 解如图所示,延长AD,BC交于点E,
3
∵四边形ABCD内接于☉O,∠A=90°, ∴∠EDC=∠B,∠ECD=∠A=90°, ∴△ECD∽△EAB,∴ . ∵cos∠EDC=cosB=5,∴ 5. ∵CD=10,∴ 5,∴ED=3. ∴EC= 2 -2 3 -102 3. ∴1
10
40
350 3
3 3
10350
50
2
40
,∴AD=6.
11.(2017·湖北武汉)如图,△ABC内接于☉O,AB=AC,CO的延长线交AB于点D.
备用图
(1)求证:AO平分∠BAC;
(2)若BC=6,sin∠BAC=5,求AC和CD的长. (1)证明连接OB,
3
∵AO=AO,BO=CO,AB=AC, ∴△AOB≌△AOC,
∴∠BAO=∠CAO,即AO平分∠BAC.
(2)解如图,过点D作DK⊥AO于K,延长AO交BC于H.
∵由(1)知AO⊥BC,OB=OC,BC=6.
∴BH=CH=2BC=3,∠COH=2∠BOC, ∵∠BAC=2∠BOC, ∴∠COH=∠BAC.
在Rt△COH中,∠OHC=90°, ∠COH= , 5
1
11
3
∵CH=3,∴CO=AO=5. ∴OH=4.
∴AH=AO+OH=4+5=9,tan∠COH=tan∠DOK=4.
在Rt△ACH中,∠AHC=90°,AH=9,CH=3,
3
∴tan∠CAH= 3,AC=3 10, 由(1)知∠COH=∠BOH,tan∠BAH=tan∠CAH=3, 设DK=3a,在Rt△ADK中,tan∠BAH=3,AK=9a. 在Rt△DOK中,tan∠DOK=4,
3
1
1
1
①
∴OK=4a,DO=5a. ∴AO=OK+AK=13a=5.
∴a=13,DO=5a=13,CD=OC+OD=5+13 13, ∴AC=3 10,CD=13.
创新拓展
12.
90
5
25
25
90
②
(2018·贵州遵义)如图,AB是半圆O的直径,C是AB延长线上的点,AC的垂直平分线交半圆于点D,交AC于点E,连接DA,DC,已知半圆O的半径为3,BC=2. (1)求AD的长;
(2)点P是线段AC上一动点,连接DP,做∠DPF=∠DAC,PF交线段CD于点F,当△DPF为等腰三角形时,求AP的长.
解(1)如图1,连接OD,因为半径为3,所以OA=OB=OD=3.因为BC=2,所以AC=8.因为DE垂直平分AC,所以DA=DC,AE=4,∠DEO=90°,OE=1,在Rt△DOE中,DE= 2 -2 =2 2,在Rt△ADE中,AD= 2 2 =2 6.
图1
(2)因为△PDF为等腰三角形,因此分类讨论:
①当DP=DF时,如图2,点A与点P重合,则AP=0.
图2
②当PD=PF时,如图3,因为∠DPF=∠DAC=∠C,∠PDF=∠CDP,
所以△PDF∽△CDP, 因为PD=PF,所以CP=CD, 所以CP=2 6,AP=AC-PC=8-2 6.
图3
③当FP=FD时,如图4,因为△FDP和△DAC都是等腰三角形,∠DPF=∠DAC,
所以∠FDP=∠DPF=∠DAC=∠C, 所以,设DP=PC=x,则EP=4-x,
在Rt△DEP中,DE+EP=DP,得(2 2)+(4-x)=x,得x=3,则AP=5.
2
2
2
2
2
2
图4
综上所述,当△DPF为等腰三角形时,AP的长可能为0,8-2 6,5.
相关推荐：
loading