课时课题：第二章 第二节 平方根（一）
授课人：枣庄市第十一中学 杨 静 课 型：新授课
授课时间：2013年9月17日 星期二 第一节
教学目标：
·知识与技能目标
1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．
2．了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．
3．了解算术平方根的性质． ·过程与方法目标
1．在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力． 2．在合作交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识． ·情感与态度目标
让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲． 教学重点：
了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根． 教学难点：
对算术平方根的概念和性质的理解．
教法与学法：
教法：为了充分体现“以学生为主体”的教学宗旨，结合本节课内容主要采取了“自主、合作、探
究”的探究式和启发式教学法。
学法：本课采用自主探究与合作交流相结合的学习方法，将课堂放给学生，让学生在自主活动中得
以发展．
课前准备：
教具：教材，多媒体课件． 学具：教材，练习本．
教学过程：
一、创设情境，引入新课
问题导入
内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空： x2= ，y2= ，z2= ，w2= ． 在同学填完空的基础上，继续引导：
在x=2中，2叫x的平方，反过来x叫2的什么呢？本节课我们一起来学习．
A 1 O 1 x B 2
E w z y 1 1 D 1 C
意图：带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算术平方根的必要性． 效果：能表示x2=2，y2=3，z2=4，w2=5；能求得z＝2，但不能求得x、y、w的值． 说明：引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明学习这节课的必要性．
二、初步探究
内容1：情境引出新概念
x2=2，y2=3，z2=4，w2=5，已知幂和指数，求底数x，你能求出来吗？ 意图：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性．
效果：学生可以估算出x，y是1到2之间的数，w是2到3之间的数但无法表示x、y、w，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算——开方．
说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，都是激发学生继续往下学习的兴趣，都可以提出同样的问题“已知幂和指数，求底数x，你能求出来吗？” 内容2：在上面思考的基础上，明晰概念：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“a”，读作“根号a”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即0?0． 意图：对算术平方根概念的认识．
效果：了解算术平方根的概念，知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的． 内容3：简单运用 巩固概念
例1 求下列各数的算术平方根：
49； （4）14． 64意图：体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如14的算术平
（1）900； （2）1； （3）方根是14．
效果：会求一个正数的算术平方根，更进一步了解算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．
答案：解：（1）因为30=900，所以900的算术平方根是30，即900?30；
（2）因为1=1，所以1的算术平方根是1，即1?1；
22
4974977?49（3）因为?，所以 的算术平方根是， 即?； ???648648864?? （4）14的算术平方根是14．
内容4：回解课堂引入问题
2x2=2，y2=3，w2=5，那么x=2，y=3，w=5．
三、深入探究
内容1：例2 自由下落物体的高度h（米）与下落时间t（秒）的关系为h=4.9t2．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
意图：用算术平方根的知识解决实际问题．
效果：学生多能利用等式的性质将h=4.9t2进行变形，再用求算术平方根的方法求得题目的解．
解：将h=19.6代入公式得h=4.9 t， t =4，所以t = 4=2(秒) ． 即铁球到达地面需要2秒．
说明：此题是为得出下面的结论作铺垫的．
内容2：观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点．
意图：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义：a中的a是一个非负数，a的算术平方根a也是一个非负数，负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性． 效果：再一次深入地认识算术平方根的概念，明确只有非负数才有算术平方根．
2
2
四、反馈练习
一、填空题：
1．若一个数的算术平方根是7，那么这个数是 ； 2．9的算术平方根是 ；
23．()2的算术平方根是 ；
34．若m?2?2，则(m?2)2= ． 二、求下列各数的算术平方根：
A 5121，15，0.64，10?4，225，()0．
6144三、如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？
2答案：一、1.7；2.3 ；3. ；4．16；二、6；11；15；
312 36，
0.8；10?2；15；1；
B C 三、解：由题意得 AC=5.5米，BC=4.5米，∠ABC=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得
AB?AC2?BC2?5.52?4.52?10（米）．所以帐篷支撑竿的高是 10米．
意图：旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，以便根据学生情况调整教学进程.
效果：练习注意了问题的梯度性，由浅入深，一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识.对学生的回答，教师要给予评价和点评。
五、学习小结
内容：这节课学习的算术平方根是本章的基本概念，是为以后的学习做铺垫的．通过这节课的学习，我们要掌握以下的内容：
（1）算术平方根的概念，式子a中的双重非负性：一是a≥0，二是a≥0．
（2）算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．
（3）求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的
算术平方根．
意图：依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点，强化算术平方根的概念和性质．
六、布置作业
习题2.3
五、教学设计说明
1．设计理念
要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化的过程．概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有必要的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．
“讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的本质特征．算术平方根的本质特征就是定义中指出的：“如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，”的 “正数x”，即被开方数是正的，由平方的意义，a也是正数，因此算术平方根也必须是正的．当然零的算术平方根是零.
“加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练,使练习题达到一定的质和量,也包括书写格式的训练，如在求正数的算术平方根时，不是直接写出算术平方根，而是通过平方运算来求算术平方根，非平方数的算术平方根只能用根号来表示.
“逐步深化”是指利用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”组成题组，在教学的不同阶段按由浅入深的原则加以使用.
2．知识拓展
在教学中，根据学生的实际情况，在学有余力的情况下，可用以下的例题和练习题进行知识的拓展：
内容：例 已知x?2?解：因为 x?2和
y?4?0，求yx的值．
y?4都是非负数，并且x?2?y?4?0，所以 x?2?0 ，y?4?0，
x2解得x=2，y= -4，所以y?(?4)?16．
意图：加深对算术平方根概念中两层含义的认识，会用算术平方根的概念来解决有关的问题． 效果：达到能灵活运用算术平方根的概念和性质的目的．
课后还可以布置相应的拓展性习题： 内容：1．已知x?1??y?2?2?2z?3?0，求x+y+z的值． 22．若x，y满足2x?1?1?2x?y?5，求xy的值． 3．求x?x?5?5中的x．
4．若5?11的小数部分为a，5?11的小数部分为b，求a+b的值．
5．△ABC的三边长分别为a，b，c，且a，b满足a?1?b2?4b?4?0，求c的取值范围． 解：1．因为x?
311322≥0，?y?2?≥0，z?≥0，且x???y?2??z??0 ，
2222
所以x?31132=0，?y?2?=0，z?=0，解得x?，y??2，z??，所以x+y+z= ?3．
22222．因为2x-1≥0，1-2x≥0，所以 2x-1=0，解得 x=
1115 ，当 x=时，y=5，所以 xy=×5=． 22223．解：因为x-5≥0，x?5?5?x≥0 ，所以 x=5 ．
4．解：因为3?11?4 ，所以5?11的整数部分为8，5?11的整数部分为1，所以5?11的小数部分a?5?11?8?11?3，5?11的小数部分b?5?11?1?4?11，所以
a?b?11?3?4?11?1．
225．解：由a?1?b2?4b?4?0，可得a?1?(b?2)?0，因为 a?1≥0，(b?2)≥0，
2所以a?1=0，(b?2)=0，所以a = 1，b = 2，由三角形三边关系定理有：b- a < c < b+a ，
即1 < c < 3．
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