8-4第4讲 简单的三角恒等变换

第8章 第4讲 简单的三角恒等变换

一、选择题

1

1．函数y＝的最大值是( )

2＋sinx＋cosx

A.2222－1 B.＋1 C．1－ D．－1－ 2222

2

2．若△ABC的内角A满足sin2A＝，则sinA＋cosA等于( )

3

A.151555 B．－ C. D．－ 3333

1

3．若sinα＋cosα＝，则cos4α的值等于( )

3

4717471A. B. C．－ D. 8181819π12π

4．若sin(－α)＝，则cos(＋2α)＝( )

633

7117A．－ B．－ C. D.

93395．函数f(x)＝sinx－3cosx(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )

5π5ππππ

A．[－π，－] B．[－，－] C．[－，0] D．[－，0]

66636π

6．若函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx,0≤x≤，则f(x)的最大值为( )

2

A．1 B．2 C.3＋1 D.3＋2 二、填空题

ππ

＋α?＋sin?＋α?＝________. 7．化简：cos??3??6?

π3

8．若sin(＋θ)＝，则cos2θ＝________.

25

9．若锐角α、β满足(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，则α＋β＝________. 10．函数f(x)＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．

1

三、解答题

π2π3π

11．已知cos(x－)＝，x∈(，)．

41024

(1)求sinx的值； π

(2)求sin(2x＋)的值．

3

π

12．已知函数f(x)＝2cosxcos(－x)－3sin2x＋sinxcosx.

6

(1)求f(x)的最小正周期；

ππ

(2)设x∈[－，]，求f(x)的值域．

32

亲爱的同学请写上你的学习心得

2

第8章 第4讲 简单的三角恒等变换

一、选择题

1

1．函数y＝的最大值是( )

2＋sinx＋cosx

A.2222－1 B.＋1 C．1－ D．－1－ 2222

2＋21π1[解析] y＝ 当sin(x＋)＝－1时，ymax＝＝.故选B.

π422－2

2＋2sin?x＋?

4[答案] B

2

2．若△ABC的内角A满足sin2A＝，则sinA＋cosA等于( )

3

A.151555 B．－ C. D．－ 3333

22[解析] ∵0＜A＜π，0＜2A＜2π，又sin2A＝，即2sinAcosA＝，

33π515∴0＜A＜，(sinA＋cosA)2＝，sinA＋cosA＝. [答案] A

2331

3．若sinα＋cosα＝，则cos4α的值等于( )

3

4717471A. B. C．－ D. 818181911[解析] ∵sinα＋cosα＝ ∴1＋sin2α＝，

39

8847

∴sin2α＝－，cos4α＝1－2sin22α＝1－2×(－)2＝－，故选C. [答案] C

9981π12π

4．若sin(－α)＝，则cos(＋2α)＝( )

633

7117A．－ B．－ C. D.

9339

2ππππ7

[解析] cos(＋2α)＝cos[π－2(－α)]＝－cos2(－α)＝2sin2(－α)－1＝－，故选A.

36669[答案] A

5．函数f(x)＝sinx－3cosx(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )

3

5π5ππππ

A．[－π，－] B．[－，－] C．[－，0] D．[－，0]

66636π4πππ

[解析] f(x)＝sinx－3cosx＝2sin(x－) ∵－π≤x≤0，∴－≤x－≤－，

3333ππππ

当－≤x－≤－时，即－≤x≤0时，f(x)递增． [答案] D

2336

π

6．(2009·江西卷)若函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx,0≤x≤，则f(x)的最大值为( )

2

A．1 B．2 C.3＋1 D.3＋2

ππ

[解析] 因为f(x)＝(1＋3tanx)cosx＝cosx＋3sinx＝2cos(x－)，当x＝时，函数取得33最大值为2，故选B. [答案] B

二、填空题

π?π

＋α＋sin?＋α?＝________. 7．(2008·上海春季高考)化简：cos??3??6?

[答案] cosα

π3

8．(2008·浙江)若sin(＋θ)＝，则cos2θ＝________.

25

π3377

[解析] ∵sin(＋θ)＝cosθ＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝2×()2－1＝－.[答案] －

25525259．若锐角α、β满足(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，则α＋β＝________.

[解析] 由(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，

tanα＋tanβππ

可得＝3，即tan(α＋β)＝3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.[答案]

331－tanαtanβ10．(2009·上海)函数f(x)＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．

π

[解析] ∵f(x)＝2cos2x－1＋sin2x＋1＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin(2x＋)＋1

4∴f(x)最小值为 1－2.[答案] 1－2 三、解答题

π2π3π

11．(2008·天津)已知cos(x－)＝，x∈(，)．

41024

(1)求sinx的值； π

(2)求sin(2x＋)的值．

3

π3ππππ

[解] (1)解法一：因为x∈(，)， 所以x－∈(，)，

24442π

于是sin(x－)＝

4

π72

1－cos2?x－?＝.

410

4