考点：1.线动旋转问题；2.正方形的判定和性质；3.图形面积求法；4.分类思想的应用.
7．(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上. 填空:线段AD,BE之间的关系为 . (2)拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由. (3)解决问题
如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.
【答案】(1) AD=BE，AD⊥BE．(2) AD=BE，AD⊥BE．(3) 5-32≤PC≤5+32． 【解析】 【分析】
（1）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），得AD=BE，∠EBC=∠CAD，延长BE交AD于点F，由垂直定义得AD⊥BE．
（2）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），AD=BE，∠CAD=∠CBE，由垂直定义得∠OHB=90°，AD⊥BE；
（3）作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，PC=BE，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE；当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE，故5-32≤BE≤5+32. 【详解】
（1）结论：AD=BE，AD⊥BE． 理由：如图1中，
∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形， ∴AC=BC，CE=CD， ∠ACB=∠ACD=90°， 在Rt△ACD和Rt△BCE中
?AC＝BC???ACD＝?BCE ?CD＝CE?∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE，∠EBC=∠CAD 延长BE交AD于点F， ∵BC⊥AD， ∴∠EBC+∠CEB=90°， ∵∠CEB=AEF， ∴∠EAD+∠AEF=90°， ∴∠AFE=90°，即AD⊥BE． ∴AD=BE，AD⊥BE． 故答案为AD=BE，AD⊥BE． （2）结论：AD=BE，AD⊥BE．
理由：如图2中，设AD交BE于H，AD交BC于O．
∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形， ∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°， ∴ACD=∠BCE， 在Rt△ACD和Rt△BCE中
?AC＝BC???ACD＝?BCE， ?CD＝CE?∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，
∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH， ∴∠BOH+∠OBH=90°， ∴∠OHB=90°， ∴AD⊥BE， ∴AD=BE，AD⊥BE．
（3）如图3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP， ∴PC=BE，
图3-1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE=5-32， 图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+32， ∴5-32≤BE≤5+32， 即5-32≤PC≤5+32．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
8．如图1，O为直线AB上一点，OC为射线，∠AOC＝40°，将一个三角板的直角顶点放在点O处，一边OD在射线OA上，另一边OE与OC都在直线AB的上方．
（1）将三角板绕点O顺时针旋转，若OD恰好平分∠AOC（如图2），试说明OE平分∠BOC；
（2）将三角板绕点O在直线AB上方顺时针旋转，当OD落在∠BOC内部，且∠COD＝
1∠BOE时，求∠AOE的度数： 3（3）将图1中的三角板和射线OC同时绕点O，分别以每秒6°和每秒2°的速度顺时针旋转一周，求第几秒时，OD恰好与OC在同一条直线上？
【答案】（1）证明见解析；（2）142.5°；（3）第10秒或第55秒时. 【解析】 【分析】
（1）由角平分线的性质及同角的余角相等，可得答案；
（2）设∠COD＝α，则∠BOE＝3α，由题意得关于α的方程，求解即可； （3）分两种情况考虑：当OD与OC重合时；当OD与OC的反向延长线重合时． 【详解】
解：（1）∵OD恰好平分∠AOC ∴∠AOD＝∠COD ∵∠DOE＝90°
∴∠AOD+∠BOE＝90°，∠COD+∠COE＝90° ∴∠BOE＝∠COE ∴OE平分∠BOC．
（2）设∠COD＝α，则∠BOE＝3α，当OD在∠BOC的内部时， ∠AOD＝∠AOC+∠COD＝40°+α ∵∠AOD+∠BOE＝180°﹣90°＝90° ∴40°+α+3α＝90° ∴α＝12.5°
∴∠AOE＝180°﹣3α＝142.5° ∴∠AOE的度数为142.5°．
（3）设第t秒时，OD与OC恰好在同一条直线上，则∠AOD＝6t，∠AOC＝2t+40°； 当OD与OC重合时，6t﹣2t＝40° ∴t＝10（秒）；
当OD与OC的反向延长线重合时，6t﹣2t＝180°+40° ∴t＝55（秒）
∴第10秒或第55秒时，OD恰好与OC在同一条直线上． 【点睛】
本题主要考查角平分线的性质、余角的性质，角度的计算，进行分类讨论不漏解是关键.
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