高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题

anan?1anan?122??2?2???2[?] ,nn?1nn?133(?1)(?1)(?1)(?1)an22?}是以为首项, 公比为?2的等比数列. ?a?1(?1)n33故数列{

故

an212n?2n?1??(?)(?2) ∴a?[2?(?1)n] nn33(?1)3∴数列{an}的通项公式为：an2?[2n?2?(?1)n]. 3⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边

=

1113111??L??[2?3?L?m?2]，如果我们把上式中的分母中的?1去掉，就可利用等比ma4a5am22?12?12?(?1)数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：

1111， ???23232?12?12211111，因此，可将保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对m进行???343422?12?1222?1分类讨论，（1）当m为偶数(m?4)时，

11111111??????(?)???(?) a4a5ama4a5a6am?1am ?13111?(3?4???m?2) 222221311??(1?m?4) 2242137?? 288 ? ?（2）当m是奇数(m?4)时，m?1为偶数，

111111117???????????? a4a5ama4a5a6amam?18所以对任意整数m?4，有

1117?????。 a4a5am8本题的关键是并项后进行适当的放缩。

3.（07武汉市模拟）定义数列如下：a1??2,an?1?an?an?1,n?N?

?2求证：（1）对于n?N恒有an?1?an成立； （2）当n?2且n?N，有an?1?anan?1?a2a1?1成立；

（3）1?122006?111?????1 a1a2a2006分析：（1）用数学归纳法易证。 （2）由an?12?an?an?1得：an?1?1?an(an?1)?an?1?an?1(an?1?1)

… … a2?1?a1(a1?1)

以上各式两边分别相乘得： an?1?1?anan?1?a2a1(a1?1)，又a1 ?an?1?anan?1?a2a1?1 （3）要证不等式1??2

122006?111?????1， a1a2a2006可先设法求和：

111????，再进行适当的放缩。 a1a2a20061an?1?1?11111????

an?1ananan?1an?1?1?an?1?1?an(an?1)??111111111?(?)?(?)???(?) ????a1?1a2?1a2?1a3?1a2006?1a2007?1a1a2a20061112006??1??22006 ?1又a1a2?a2006?a1a1?1a2007?1a1a2?a2006??1?11?1?2006?原不等式得证。

a1a2?a20062本题的关键是根据题设条件裂项求和。

用放缩法处理数列和不等问题（学生版）

一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列?an?的前n项的和Sn，满足2（1）数列?an?的通项公式； （2）设bn?

真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列

Sn?an?1，试求：

11，数列?bn?的前n项的和为Bn，求证：Bn?

anan?12?an?的前n项的和,Sn?412gg an??2n?1?，n?1,2,3,g333n32n（Ⅰ）求首项a1与通项an；（Ⅱ）设Tn?，n?1,2,3,ggg，证明：?Ti?.

2Sni?1

二．先放缩再求和

1．放缩后成等比数列，再求和

例2．等比数列

?an?中，a1，前n项的和为Sn，且S7,S9,S8成等差数列． ??12an1设bn?，数列?bn?前n项的和为Tn，证明：Tn?．

31?an

真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列

（I）求数列

2?an?满足a1?1,an?1?2an?1(n?N*).

?an?的通项公式；

b?1b2?1（II）若数列?bn?滿足414（Ⅲ）证明：

L4bn?1?(an?1)bn(n?N*)，证明：数列?bn?是等差数列；

an1a1a2n????...?n?(n?N*). 23a2a3an?12

2．放缩后为“差比”数列，再求和 例3．已知数列{an}满足：a1

?1，an?1?(1?nn?1)a(n?1,2,3?)a?a?3?．求证： nn?1nnn?122