几何经典难题
1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF．（初三） C E
G
A B D O F
A D 2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，
P ∠PAD＝∠PDA＝150．
求证：△PBC是正三角形．（初二）
C B
3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1
的中点．
A D
求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二） AD2 2 A1
D1
B1
C1
B2 C2
B C
4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交
MN于E、F．
F 求证：∠DEN＝∠F． E N C D
A B
M 5、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M． A （1）求证：AH＝2OM；
（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初三）
O
· H E
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B M D C
6、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，
G 直线EB及CD分别交MN于P、Q．
E 求证：AP＝AQ．（初三）
O · C
B D M N
Q P A
7、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．
E 求证：AP＝AQ．（初三 ）
C A Q M · N P
· O B
D
8、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P
是EF的中点．
D 求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二） G
E C P F
B A Q 第 2 页 共 15 页
9、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．
求证：CE＝CF．（初二）
D A
F E B C
10、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．
求证：AE＝AF．（初二） A D F
B C E
11、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE． 求证：PA＝PF．（初二） D A
F
B P C E
12、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求
证：AB＝DC，BC＝AD．（初三） A O D B P
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E F C 13、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．
求：∠APB的度数．（初二）
A P B C
14、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．
求证：∠PAB＝∠PCB．（初二） A D
P
B C
15、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）
A D
B C
16、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且 AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二） A
D
F P B E C 17、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：
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≤L＜2．
18、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
19、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．
20、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．
B C A P D B P P C
C
A A D
B
B A D E 第 5 页 共 15 页 C
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