大学高等数学重点绝密通用复习资料,绝对有用

考试的重点内容，每年必考重点

高等数学（通用复习）

师兄的忠告：记住我们只复习重点，不需要学得太多，这些是每年必须的重点，希望注意

第一章 函数与极限

? 函数

○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★）

U?a,?????x|x?a???

U?a,????x|0?x?a??? 第一节 数列的极限 ○数列极限的证明（★） 【题型示例】已知数列?xn?，证明lim?xn??a x??【证明示例】??N语言 1．由xn?a??化简得n?g???， ∴N???g????? 2．即对???0，?N???g?????，当n?N时，始终有不等式xn?a??成立， ∴lim?xn??a x??第二节 函数的极限 ○x?x0时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数f?x?，证明limf?x??A x?x0【证明示例】???语言 1．由f?x??A??化简得0?x?x0?g???， ∴??g??? 2．即对???0，???g???，当0?x?x0??时，始终有不等式f?x??A??成立， ∴limf?x??A x?x0○x??时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数f?x?，证明limf?x??A x??【证明示例】??X语言 1．由f?x??A??化简得x?g???， ∴X?g??? 2．即对???0，?X?g???，当x?X时，始终有不等式f?x??A??成立， ∴limf?x??A x??第三节 无穷小与无穷大

○无穷小与无穷大的本质（★） 函数f?x?无穷小?limf?x??0 函数f?x?无穷大?limf?x???

○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）

（定理三）假设f?x?为有界函数，g?x?为无穷小，则lim??f?x??g?x????0

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（定理四）在自变量的某个变化过程中，若f?x? 为无穷大，则ff?x??0，则f?1?1?x?为无穷小；反之，若f?x?为无穷小，且

?x?为无穷大

?【题型示例】计算：lim??f?x??g?x???（或x??）

x?x01．∵f?x?≤M∴函数f?x?在x?x0的任一去心邻域U?x0,??内是有界的； （∵f?x?≤M，∴函数f?x?在x?D上有界；） 2．limg?x??0即函数g?x?是x?x0时的无穷小； x?x0（limg?x??0即函数g?x?是x??时的无穷小；） x??3．由定理可知lim??f?x??g?x????0 x?x0（lim??f?x??g?x????0） x??第四节 极限运算法则 ○极限的四则运算法则（★★） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则 关于多项式p?x?、q?x?商式的极限运算 mm?1????am?p?x??a0x?a1x设：? nn?1????bn?q?x??b0x?b1x??n?m?p?x??a0??则有lim n?m x??q?x??b0n?m?0??f?x0?g?x0??0?g?x0??f?x??lim??? g?x0??0,f?x0??0 x?x0gx???0?g?x0??f?x0??00??（特别地，当limf?x?g?x?x?x0?00（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）

【题型示例】求值limx?3x?92 x?3x?92x?3【求解示例】解：因为x?3，从而可得x?3，所以原式?lim其中x?3为函数f?x??x?3x?92x?3?limx?3x?3?x?3??x?3??lim1x?3x?3?16

的可去间断点

倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：

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0解：limx?3x?920x?3?lim?x?3??L?x?3?x2?9???lim12xx?3?16

○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）

（定理五）若函数f?x?是定义域上的连续函数，那么，limf???x???f?lim??x?? ????x?x?x?x?00【题型示例】求值：lim【求解示例】lim

x?3x?9?2x?3 x?3x?92x?3x?92x?3limx?3?16?66 第五节 极限存在准则及两个重要极限

○夹迫准则（P53）（★★★） 第一个重要极限：lim∵?x??0,?limxsinxsinxxx?0?1 sinxx?1 ???2??，sinx?x?tanx∴lim1sinxxlim1?x?0x?0x?0?limx?0?sinx?lim??x?0?x??1 （特别地，limsin(x?x0)x?x0x?x0?1）

○单调有界收敛准则（P57）（★★★） 1??第二个重要极限：lim?1???e x??x??x（一般地，lim??f?x???

g?x????limf?x???x?1limg?x?，其中limf?x??0） ?2x?3?【题型示例】求值：lim??x???2x?1? 【求解示例】 ?2x?3?解：lim??x???2x?1?x?1?2x?1?2??lim??x???2x?1?2x?12?22x?1??x?1?x?12???lim?1??2x?1??2x?1??22x?12x?12???lim?1??2x?1??2x?1???2????lim?1???2x?1???2x?1???e2x?1????2???lim??1??2x?1???2x?1????2?lim??x?1????2x?1???2x?1????2x?1??x?1? 2x?12????2x?1???2lim?2??x?1??x?1????elim?2x?2???2x?1??e?e1第六节 无穷小量的阶（无穷小的比较）

○等价无穷小（★★）

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