2017-2018学年高中数学人教B版选修4-4同步教学案
1x
代入y＝log3x得Y＝log32X，即y＝log32. x
答案：y＝log32
Y2
7．把圆x＋y＝16沿x轴方向均匀压缩为椭圆X＋16＝1，则坐标变换公
2
2
2
式是________．
?X＝ax ?a＞0?，
解析：设φ：?
?Y＝by ?b＞0?，Xx＝??a，则?Y
y＝??b.
X2Y2
代入x＋y＝16得16a2＋16b2＝1.
2
2
∴16a2＝1,16b2＝16. 1??a＝，∴?4??b＝1.
x??X＝，4故???Y＝y.
x??X＝，4答案：? ??Y＝y
1??X＝x，
28．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为???Y＝3y，弦曲线y＝cos x的方程变为________．
1??X＝x，
2解析：∵???Y＝3y，
则在这一坐标变换下余
x＝2X，??
∴?1y＝Y.??3
代入y＝cos x得Y＝3cos 2X. 答案：Y＝3cos 2X 三、解答题
9．在同一平面直角坐标系中，将曲线x2－36y2－8x＋12＝0变成曲线X2－Y2－4X＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．
解：x2－36y2－8x＋12＝0
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?x－4?2
?－9y2＝1. 可化为?
?2?X2－Y2－4X＋3＝0 可化为(X－2)2－Y2＝1. x－4?
?X－2＝，2?比较①②，可得
??Y＝3y，
①
②
x??X＝，2即???Y＝3y.
1
所以将曲线x2－36y2－8x＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的2，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线X2－Y2－4X＋3＝0的图象．
10．如图，动点M与两定点A(－1，0)，B(1,0)构成△MAB，且直线MA，MB的斜率之积为4.设动点M的轨迹为C.求轨迹C的方程．
解：设M的坐标为(x，y)，
当x＝－1时，直线MA的斜率不存在； 当x＝1时，直线MB的斜率不存在． 于是x≠1且x≠－1.
yy此时，MA的斜率为，MB的斜率为. x＋1x－1由题意，有
yy
·＝4， x＋1x－1
化简可得，4x2－y2－4＝0. 故动点M的轨迹C的方程为 4x2－y2－4＝0(x≠1且x≠－1)．
11．已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状．
解：(1)由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，
9
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所以kPM·kPN＝
2
yy
·＝λ(λ≠0，x≠±1)， x＋1x－1
y2
整理得x－λ＝1(λ≠0，x≠±1)． 即动点P的轨迹C的方程为 y2
x－λ＝1(λ≠0，x≠±1)．
2
(2)①当λ>0时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)； ②当－1<λ<0时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)；
③当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心、1为半径的圆(除去点(－1,0)，(1,0))； ④当λ<－1时，轨迹C为中心在原点、焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．
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_1.2极_坐_标_系
[对应学生用书P4]
[读教材·填要点]
1．平面上点的极坐标
(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O点称为极点，Ox称为极轴．
(2)点的极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，ρ称为极径，θ称为极角．
2．极坐标与直角坐标的关系
(1)极坐标和直角坐标变换的前提条件：
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x轴的正半轴重合； ③两种坐标系取相同的长度单位． (2)极坐标和直角坐标的变换公式： ρ2＝x2＋y2，???x＝ρcos θ，
?或?y
tan θ＝?y＝ρsin θ；?x?x≠0?.?
[小问题·大思维]
1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为什么？
提示：不是．在极坐标系中，与给定的极坐标(ρ，θ)相对应的点是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是(ρ，θ)(ρ≠0)，那么这一点也可以表示为(ρ，θ＋2nπ)或(－ρ，θ＋(2n＋1)π)(其中n∈Z)．
2．若ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点M(ρ，θ)与平面内的点之间是否是一一对应的？
提示：如果我们规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一
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