2018-2019学年高中数学 第一章 立体几何初步 1

从小丘西行百二十步，隔篁竹，闻水声，如鸣珮环，心乐之。伐竹取道，下见小潭，水尤清冽。全石以为底，近岸，卷石底以出，为坻，为屿，为嵁，为岩。青树翠蔓，蒙络摇缀，参差披拂。珮通：佩

2018-2019学年高中数学 第一章 立体几何初步 1

[学业水平训练]

1.半径为r的球的表面积为16π，则r＝( ) A．2 C．4

1B.4 1D.4π

解析：选A.由4πr2＝16π，得r2＝4，∴r＝2.

2.用一平面去截体积为4π的球，所得截面的面积为π，则球心到截面的距离为( )

A．2 B.3 C. D．1

解析：选C.由已知得球的半径为R＝，又πr2＝π，∴r＝1，∴d＝＝.

3.平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为( )

A.π B．4π C．4π D．6π

解析：选B.设球的半径为R，由球的截面性质得R＝＝，所以球的体积V＝πR3＝4π.

4.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2 cm，则球的表面积是( )

A．8π cm2 B．12π cm2 C．16π cm2 D．20π cm2

解析：选B.设球的半径为R，正方体的体对角线为l， 则R＝＝＝，

所以S球＝4πR2＝12π cm2.

5.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )

A．9π B．10π C．11π D．12π

解析：选D.由三视图可知该几何体上面是个球，下面是个圆柱，由已知数据得表面积S＝S球＋S圆柱＝4π×12＋2π×12＋2π×1×3＝12π.

6.圆半径扩大n倍，其面积扩大________倍；球半径扩大n倍，

欧阳修，字永叔，庐陵人。四岁而孤，母郑，守节自誓，亲诲之学。家贫，至以荻画地学书。幼敏悟过人，读书辄成诵。及冠，嶷然有声。修始在滁州，号醉翁，晚更号六一居士。天资刚劲，见义勇为，虽机阱在前，触发之不顾。放逐流离，至于再三，志气自若也。

1 / 4

从小丘西行百二十步，隔篁竹，闻水声，如鸣珮环，心乐之。伐竹取道，下见小潭，水尤清冽。全石以为底，近岸，卷石底以出，为坻，为屿，为嵁，为岩。青树翠蔓，蒙络摇缀，参差披拂。珮通：佩

其表面积扩大________倍，体积扩大________倍．

解析：由圆的面积公式S＝πr2， 球的表面积公式S＝4πR2， 球的体积公式V＝πR3，

可知，圆半径扩大n倍，其面积扩大n2倍，球的半径扩大n倍，其表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍．

答案：n2 n2 n3

7.一个圆柱的底面直径和高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、球的体积之比为________．

解析：设球的半径为R， 则由已知得

V圆柱＝πR2·2R＝2πR3， V球＝πR3，

所以，V圆柱∶V球 ＝2πR3∶πR3 ＝3∶2. 答案：3∶2

8.已知一个表面积为24的正方体，设有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为________．

解析：设正方体的棱长为a，则6a2＝24，解得a＝2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长2 等于球的直径，则球的半径是，则此球的体积为π()3＝π.

答案：π

9.过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm2，试求此球的表面积和体积．

解：

如图，设截面圆的圆心为O1，

则OO1⊥O1A，O1A为截面圆的半径，OA为球的半径． ∵48π＝π·O1A2，∴O1A2＝48. 在Rt△AO1O中，

OA2＝O1O2＋O1A2，

即R2＝＋48，∴R＝8 cm，

∴S球＝4πR2＝4π×64＝256π cm2， ∴V球＝πR3＝π cm3.

10.一个长、宽、高分别是80 cm、60 cm、55 cm的水槽中有水200 000 cm3，现放入一个直径为50 cm的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中流出(π取3.14)?

解：V球＝πR3＝×3.14×253≈65 417(cm3)，

欧阳修，字永叔，庐陵人。四岁而孤，母郑，守节自誓，亲诲之学。家贫，至以荻画地学书。幼敏悟过人，读书辄成诵。及冠，嶷然有声。修始在滁州，号醉翁，晚更号六一居士。天资刚劲，见义勇为，虽机阱在前，触发之不顾。放逐流离，至于再三，志气自若也。

2 / 4

从小丘西行百二十步，隔篁竹，闻水声，如鸣珮环，心乐之。伐竹取道，下见小潭，水尤清冽。全石以为底，近岸，卷石底以出，为坻，为屿，为嵁，为岩。青树翠蔓，蒙络摇缀，参差披拂。珮通：佩

水中球的体积为V1＝V球×≈43 611(cm3)，

V长方体＝80×60×55＝264 000(cm3)，

∴V长方体－200 000＝264 000－200 000 ＝64 000>43 611.

故水槽中的水不会流出．

[高考水平训练]

1.如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为( )

A. C.

B.D.

6π

26π

24解析：选C.折起后的几何体是一个棱长为1的正四面体P-CDE，我们容易求得该正四面体外接球半径为，

∴外接球的体积V＝π＝.

2.若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为________．

解析：

如图，OO1＝，AO1＝， ∴AO＝＝， 即R＝.

∴V＝π＝π. 答案：π

3.如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知半球的直径是6 cm，圆柱筒高为2 cm.

(1)这种“浮球”的体积是多少cm3(结果精确到0.1)?

(2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？

解：(1)因为半球的直径是6 cm，可得半径R＝3 cm，

所以两个半球的体积之和为V球＝πR3＝π·27＝36π(cm3)． 又圆柱筒的体积为V圆柱＝πR2·h＝π×9×2＝18π(cm3)． 所以这种“浮球”的体积是：V＝V球＋V圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6(cm3)．

(2)根据题意，上、下两个半球的表面积是S球表＝4πR2＝4×π×9＝36π(cm2)．

又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S圆柱侧＝2πRh＝2×π×3×2＝12π(cm2)，

所以1个“浮球”的表面积为S＝＝(m2)．

欧阳修，字永叔，庐陵人。四岁而孤，母郑，守节自誓，亲诲之学。家贫，至以荻画地学书。幼敏悟过人，读书辄成诵。及冠，嶷然有声。修始在滁州，号醉翁，晚更号六一居士。天资刚劲，见义勇为，虽机阱在前，触发之不顾。放逐流离，至于再三，志气自若也。

3 / 4