江苏省徐州市2018—2019学年高一下学期期中考试
数学试题
2019．4
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．已知直线l过A?1,1?、B??1,3?两点，则直线l的倾斜角的大小为 A．
??3?2? B． C． D． 64432．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为 A．
163264256? B．? C．? D．? 33333．如果AC?0且BC?0，那么直线Ax?By?C?0不经过第几象限 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a?小为 A．
3，b?2，A?60?，则B的大
??3??3? B． C． D．或 644445．如图，已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1?BB1D1D的体积为 A．1122 B． C． D．
3436
6．已知直线l1:ax?3y?1?0与直线l2:2x?(a?1)y?1?0互相平行，则实数a的值为
A．﹣3 B．?3 C．2 D．﹣3或2 53，BC?1，则?ABC的面积等于
7．?ABC中，?A?30?，AB?A．33333 B． C． 或3 D．或242248．设m，n是两条不同直线，?，?，?是三个不同平面，给出下列四个命题： ①若m??，n??，则m//n； ②若?//?，?//?，m??，则m??；
③若m//?，n//?，则m//n； ④若m??，m//?，则???． 其中正确命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
9．一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态）．将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面所在的平面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为
A．3 B．2 C．933 D．
4210．在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2tanB?b2tanA，则?ABC的形状为 A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
11．直线l1:kx?y?2k?4?0与x轴交于点M，直线l2:x?ky?4k?2?0与y轴交于点N，线段MN的中点为P，则点P的坐标?x,y?满足的方程为
A．(x?2y?5)(2x?y)?0 B．x?2y?5?0 C．(2x?y?4)(2x?y)?0 D．2x?y?4?0
12．在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若?ABC为锐角三角形，且满足b2?a2?ac，则
11?的取值范围是 tanAtanB?23??23?1,21,,2A．? C．???3?? B．?3? D．?1,???
??????二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
13． 过直线2x?y?4?0与x?y?5?0的交点，且垂直于直线x?2y?0的直线方程是 ______________．14．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则圆柱的体积为 ______________．
15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______________m．
16．在?ABC中，?ABC?120?，?ABC的平分线交AC于点D，且BD?1，BC?3，则边AC的值为______________．
三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本题满分10分）
已知直线l过点P?2,3?，根据下列条件分别求直线l的方程： （1）直线l的倾斜角等于
2?； 3（2）直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0． 18．（本题满分10分）
如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，BC?AC，D，E分别是AB，AC的中点． （1）求证：B1C1//平面A1DE； （2）求证：平面A1DE?平面ACC1A1．
19．（本题满分12分）
在?ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知bsinA＝acos?B?（1）求角B的大小；
（2）设a?2，c?2，求b和sin?2A?B?的值． 20．（本题满分12分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD?底面ABCD，且PA?PD?若E、F分别为PC、BD的中点． （1）求证：EF//平面PAD； （2）求证：EF?平面PDC．
??π??． 6?2?AD，2
21．（本题满分12分）
如图，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在?ADE区域内参观．在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头．?MPN为监控角，其中M、N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方．经测量得知：AD?6米，AE?6米，AP?2米，?MPN??4 ．记?EPM??(弧度)，监控摄像头的可视区域?PMN的面积为S平方米．
（1）求S关于?的函数关系式，并写出?的取值范围；（参考数据：tan（2）求S的最小值．
5?3） 4
22．（本题满分14分）
如图，在平面四边形ABCD中，AB?2，BC?6，AD?CD?4． （1）当四边形ABCD内接于圆O时，求四边形ABCD的面积S； （2）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线BD的长．
2018-2019学年度第二学期期中考试
高一年级数学试题参考答案
一、选择题： 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 B 5 B 6 A 7 D 8 C 9 D 10 D 1l B 12 A 二、填空题：
13.2x?y?8?0 14.三、解答题：
17.解：（1）设直线l的斜率为k，由题意得k?tan337 π 15.1006 16.242π??3-................1分 3又直线l过点P?2,3?，由直线的点斜式方程可得l:y?3??3?x?2?....3分 即直线l的方程为：3x?y?3?23?0...................4分
（2）设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a，b，由题意得a?b?0，即b??a ①若b??a?0时，则直线l又过点（0，0），可得直线l的方程为：3x?2y?0....6分 ②若b??a?0时，则直线l的方程为：将P?2,3?代入得：
??xy??1 a?a23??1，即a??1................................8分 a?a直线l的方程为：x?y?1?0.....................................9分
所以直线l的方程为：3x?2y?0或x?y?l?0.......................10分 18.证明：
（l）在?ABC中
因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE//BC....1分 又由三棱柱ABC?A1B1C1，可得：BC//BC1......2分
所以B1C1//DE........................................3分
又B1C1?平面A1DE，DE?平面A1DE，所以B1C1//平面A1DE:...5分 （2）由（1）知DE//BC，又BC?AC，所以DE?AC.....6分 由直三棱柱ABC?A1B1C1可得：CC1?平面ABC，又DE?平面ABC， 所以CC1?DE..............................7分
又因为ACICC1?C，AC?平面ACC1A1，CC1?平面ACC1A1； 所以DE?平面ACC1A1...................................9分
又DE?平面A1DE，所以平面A1DE?平面ACC1A1...............10分 19.解：（1）在?ABC中，由正落定理得：又由bsinA?acos?B?ab?，即：bsinA?asinB..1分 sinAsinB??π?π??asinB?acosB?，得???...........2分
6?6??π?ππ?sinB?cosB?即??，即sinB?cosBcos?sinBsin
6?66?可得tanB?3..........................4分
又因为B??0,π?，可得B?π......................6分 3π. 3（2）解：在?ABC中，由余弦定理及a?2，c?3，B?有b2?a2?c2?2accosB?7，故b?由bsinA?acos?B?7..............8分
??π??，可得sinA?6?23 ，因为a?c，故cosA?77因此sin2A?2sinA?1432，cos2A?2cosA?1?...........10分
774311333……12分 ????727214所以，sin?2A?B??sin2AcosB?cos2AsinB?20.证明：
（1）连结AC，在矩形ABCD中，F是BD的中点， 则F是AC的中点，又E是PC的中点， 所以在?CPA中有EF//PA……2分 又PA?平面PAD，EF?平面PAD， ∴EF//平面PAD……5分
（2）因为平面PAD?平面ABCD，平面PADI平面ABCD?AD，
CD?平面ABCD，又由矩形ABCD得CD?AD，
所以CD??平面PAD.……7分
又PA?平面PAD，∴CD?PA，因为EF//PA，∴CD?EF……8分 又PA?PD?π2AD，所以?PAD是等腰直角三角形，且?APD?，即PA?PD
22又EF//PA，∴PD?EF…9分
而CDIPD?D，CD?平面PDC，PD?平面PDC 所以EF?平面PDC……………………12分 21.(1）
方法一：在?PME中，?EPM??，PE?AE?AP?4米，
π3π??. ，?PME?44PMPE?由正弦定理得，
sin?PEMsin?PME?PEM?所以
PM?PE?sin?PEM?sin?PME224??3π?sin??cos?，……………………12分 sin?????4?ππ.?PNE???，PE?4 42PNPE' ?由正弦定理得
sin?PENsin?PNE同理在?PNE中，?PEM?PE?sin?PEN?所以sin?PNE2222??π?cos?...........4分 sin?????2?14......…6分 PM?PN?sin?MPN?22cos??sin?cos?53π5?， 当M与E重合时，??0；当N与D重合时，tan?APD?3，即?APD?，??4443π5? 所以0???44所以?PMN的面积S?综上可得：S?4?3π5?,??0,??……8分 2?cos??sin?cos??44?方法二：在?PME中，?EPM??，PE?AE?AP?4米，?PEM?由正弦定理可知，
π3π??. ，?PME?44MEPE?， sin?sin?PME所以
MEPE?sin??sin?PME4sin?42sin??3π?sin??cos?.........2分 sin?????4?NEPE. ?sin?EPNsin?PNE在?PNE中，由正整定理可知：
π?π???PE?sin????4sin????4?4?22?sin??cos????NE???.............4分 πcos?cos???sin?????2?所以MN?NE?ME?22 2cos??sin?cos?又点P到DE的距离为d?4sin所以?PMN的面积S?π?22， 41122MN?d???22 222cos??sin?cos?4……6分
cos2??sin?cos?当M与E重合时，??0：当N与D重合时，tan?APD?3，即?APD?53π?5 ，??44所以0???3π?5. 44?3π5?,??0,??...……8分 ?cos2??sin?cos??44?综上可得：S?（2）由（1）得S?4
cos2??sin?cos??8?sin2??cos2??18π?....10分 ?2sin?2????14???41?cos2?1?sin2?22?3π5??? 44??又???0,8π?3π5?ππ?8???0,?当2???，即时，S取得最小值为??8?44?2?142答：可视区域?PMN面积的最小值为822.解；（1）
?2?1.…….1分
??2?1平方米................12分
?
连接BD，由余弦定理得
BD2?AB2?AD2?2AB?ADcosA?22?42?2?2?4cosA BD2?BC2?CD2?2BC?CDcosC?42?62?2?4?6cosC
即20?16cosA?52?48cosC....................2分 又四边形ABCD内接于圆O，则又A?C?π
所以20?16cosA?52?48cos?π?A?化简得cosA??所以A?1，又A??0,π? 22ππ，同时有C?...............4分 3312π1π??4?6sin?83.........6分 所以S?S?ABA?S?BCD??2?4sin2323（2）
设四边形ABCD的面积为S，则
11S?S?ABD?S?BCD??AB?AD?sinA??BC?CDsinC
22BD2?AB2?AD2?2AB?ADcosA?BC2?CD2?2BC?CDcosC........8分
11?S??2?4sinA??4?6sinC?22 即??22?42?2?2?4cosA?42?62?2?4?6cosC??S??sinA?3sinC ?2??2?3cosC?cosAS2平方相加得：?4?10?6sinAsinC?6cosAcosC
16S2即?6?6cos?A?C?..................10分 16又A?C??0,2π?
S2当A?C?π时，有最大值，即S有最大值。
16此时，A?π?C，代入2?3cosC?cosA中得cosC?又C??0,π?，可得C?221 2π...............12分 3222在ABCD中BD?BC?CD?2BC?CDcosC?4?6?2?4?6cos所以BD?27...................14分
π?28 3
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