2018-2019年初二期末分类—几何证明
1、【海淀】
在 Rt△ABC 中， ?BAC ? 90? ，点 O 是△ABC 所在平面内一点，连接 OA，延长 OA 到点 E，使得AE=OA，连接 OC，过点 B 作 BD 与 OC 平行，并使∠DBC=∠OCB，且 BD=OC，连接 DE.
（1）如图一，当点 O 在 Rt△ABC 内部时.
① 按题意补全图形；
② 猜想 DE 与 BC 的数量关系，并证明.
图一
（2）若 AB = AC（如图二）， 且?OCB ? 30?, ?OBC ? 15? ，求?AED 的大小．
图二
备用图
备用图
1
2、【西城】
26．四边形ABCD是正方形，AC是对角线，E是平面内一点，且CE 且CF=CE．连接AE，AF．M是AF的中点，作射线DM交AE于点N． （1）如图1，若点E，F分别在 BC，CD边上． 求证：① ∠BAE＝∠DAF； ② DN⊥AE； （2）如图2，若点E在四边形ABCD内，点F在直线BC的上方．求∠EAC与∠ADN的和的 度数． 图1 图2 2 3、【东城】 27.在正方形ABCD中，点E是射线AC上一点，点F是正方形ABCD外角平分线CM上一点，且CF=AE，连接BE,EF． （1）如图1，当E是线段AC的中点时，直接写出BE与EF的数量关系; （2）当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你在图2中补全图形，判断（1）中 的结论是否成立，并证明你的结论； （3）当点B，E，F在一条直线上时，求?CBE的度数. （直接写出结果即可） 3 4、【朝阳】 27．已知，点E在正方形ABCD的AB边上（不与点A，B重合），BD是对角线，延长AB到点F，使BF = AE，过点E作BD的垂线，垂足为M，连接AM，CF． （1）根据题意补全图形，并证明MB=ME； （2） ①用等式表示线段AM与CF的数量关系，并证明； ②用等式表示线段AM，BM，DM之间的数量关系(直接写出即可) ． DC AEB 4 5、【石景山】 27．正方形ABCD中，点P是直线AC上的一个动点，连接BP，将线段BP绕点B顺时 针旋转90°得到线段BE，连接CE． P ADAD P BCBC E 图1 图2 （1）如图1，若点P在线段AC上， ①直接写出?ACE的度数为 °； ②求证：PA2?PC2?2PB2； （2）如图2，若点P在CA的延长线上，PA?1，PB?13， ①依题意补全图2； ②直接写出线段AC的长度为 ． 5 6、【丰台】 正方形ABCD中，点M是直线BC上的一个动点（不与点B、C重合），作射线DM，过点B作BN⊥DM于点N，连接CN。 （1）如图1，当点M在BC上时，如果∠CDM=25°，那么∠MBN的度数是_________; （2）如图2，当点M在BC的延长线上时， ①依题意补全图2； ②用等式表示线段NB，NC和ND之间的数量关系，并证明。 M DCDC MN ABAB 图1 图2 6 7、【门头沟】 27．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边所在直线上一动点（不与点B、C重合），过点B 作BF⊥DE，交射线DE于点F，连接CF． （1）如图1，当点E在线段BC上时，∠BDF=α． ①按要求补全图形； ②∠EBF=______________（用含α的式子表示）； ③判断线段 BF，CF，DF之间的数量关系，并证明． （2）当点E在直线BC上时，直接写出线段BF，CF，DF之间的数量关系，不需证明． 图1 BCADBCAD备用图 7 8、【平谷】 27. 我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“完美四边形”． （1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 （请 填序号）； （2） “完美”四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，连接AC． ①如图1，求证：AC平分∠BCD； 小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明AC平分∠BCD： 想法一：通过∠B+∠D=180°，可延长CB到E，使BE=CD，通过证明△AEB≌△ACD，从而可证AC平分∠BCD； 想法二：通过AB=AD，可将△ACD绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△AEB，可证C，B，E三点在条直线上，从而可证AC平分∠BCD. 请你参考上面的想法，帮助小明证明AC平分∠BCD； ②如图2，当∠BAD=90°，用等式表示线段AC,BC,CD之间的数量关系，并证明. 8 9、【昌平】 27. 在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，点E是射线DA上一点，连接EB，以点E为圆心EB长 为半径画弧，交射线CB于点F，作射线FE与CD延长线交于点G． （1）如图1，若DE=5，则∠DEG= °； （2）若∠BEF＝60°，请在图2中补全图形，并求EG的长； （3）若以E，F，B，D为顶点的四边形是平行四边形，此时EG的长为 . GEADFBC图1 ADADBCBC图2备用图9 10、【顺义】 27．如图，E为正方形ABCD内一点，点F在CD边上，且∠BEF＝90°，EF＝2BE．点G为 并延长到点P，使得PH＝EH，连接DP． 的数量关系并证明． 10 EF的中点，点H为DG的中点，连接EH（1）依题意补全图形； （2）求证：DP＝BE； （3）连接EC，CP，猜想线段EC和CP 11、【延庆】 27．已知：在正方形ABCD中，点H在对角线BD上运动（不与B，D重合）连接AH，过H点作HP⊥AH于H交直线CD于点P，作HQ⊥BD于H交直线CD于点Q． （1）当点H在对角线BD上运动到图1位置时，则CQ与PD的数量关系是__________． （2）当H点运动到图2所示位置时 ①依据题意补全图形． ②上述结论还成立吗？若成立，请证明．若不成立，请说明理由． （3）若正方形边长为3，∠PHD=30°，直接写出PC长． 图1 图2 11 12、【大兴】 27．如图，四边形ABCD是平行四边形，A, B是直线l上的两点，点B关于AD的对称点为M， 连接CM交AD于F点. （1）若?ABC?90?，如图， ①依题意补全图形； ②判断MF与FC的数量关系是 ； （2）如图，当?ABC?135?时，AM，CD的延长线相交于点E，取ME的中点H，连结 HF，用等式表示线段CE与AF的数量关系，并证明． 12 13、【怀柔】 27．正方形ABCD中，M为边CB延长线上一点，过点A作直线AM，设∠BAM=α，点B关于 直线AM的对称点为点E，连接AE、DE，DE交AM于点N． （1）依题意补全图形；当α=30°时， 直接写出∠AND的度数； （2）当α发生变化时，∠AND的度数是否发生变化？说明理由； （3）探究线段AN，EN，DN的数量关系，并证明． ADADBC BC备用图 13 14、【燕山】 27．如图，正方形ABCD中，点P在BC边上，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°得 ，AC于点F，G． ，CD之间的数量关系，并证明． ADBPC14 到线段PE，过点E作EF⊥BC，分别交直线BC(1) 依题意补全图形； (2) 求证：BP＝EF； (3) 连接PG，CE，用等式表示线段PG，CE 15、【清华附中】 24．如图，四边形ABCD是正方形，?ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上 任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）证明：?ABM??EBN （2）当M点在何处时，AM?BM?CM的值最小，并说明理由； （3）当AM?BM?CM的最小值为3?1时，则正方形的边长为 ． 15 16、【房山】 27. 如图，在正方形ABCD中，P为边AD上的一动点（不与点A、D重合），连接BP，点AAE，CE. ，用等式表示线段AE、CF和BF的数量关系，并证明. APD BC 16 关于直线BP的对称点为E，连接（1）依题意补全图形， （2）求∠AEC的大小； （3）过点B作BF⊥CE于F 【答案】 1、【海淀】 17 2、【西城】26.（1）证明：①在正方形ABCD中， ∴ ∠ABE=∠ADF=90°，AB = BC= CD = AD． ∵ CE = CF， ∴ BE =DF． ∴ △ABE ≌△ADF． ∴ ∠BAE=∠DAF． ························· 2分 ② ∵ M是AF的中点， ∴ ∠DAF=∠ADN． 由①可知 ∠BAE=∠DAF． ∴ ∠BAE=∠ADN． ∵ ∠BAE +∠EAD =90°， ∴ ∠AND +∠EAD =90°． ∴ AN⊥DN． ································································· 4分 （2）解：延长AD至H，使得DH=AD，连接FH，CH． ∵ AD⊥CD， ∴ CA =CH． 在正方形ABCD中，AC是对角线， ∴ ∠ACD=45°． ∴ ∠ACH=∠ACD =45°． ∴ ∠ACH=∠ECF=90°． ∴ ∠ACE=∠HCF． 18 又∵ CE =CF， ∴ △ACE ≌△HCF． ∴ ∠EAC=∠FHC． ∵ M是AF的中点，D是AH的中点， ∴ DM∥FH． ∴ ∠ADN =∠AHF． ∴ ∠ADN +∠EAC =∠AHF+∠FHC =∠AHC=45°． ······················ 8分 3、【东城】 27．解：（1）EF?2BE. …………………………………………1分 （2）补全图形如图所示. （1）中的结论仍然成立，即EF?证明：连接ED,DF 由正方形的对称性可知，BE=DE，∠CBE=∠CDE. ∵ 正方形ABCD， ∴ AB=CD，∠BAC=45°. ∵ 点F是正方形ABCD外角平分线CM上一点， ∴ ∠DCF=45°. ∴ ∠BAC=∠DCF. 由∵ CF=AE， ∴ △ABE≌△CDF. ∴ BE=DF,∠ABE=∠CDF. ∴ DE=DF. 又∵ ∠ABE+∠CBE=90°， ∴ ∠CDF+∠CDE=90°. 即 ∠EDF=90°. ∴ △EDF是等腰直角三角形. ∴ EF? ∴ EF?BC2BE. ADMEF2DE. 2BE. …………………………………………5分 19 (3) 当点B，E，F在一条直线上时，?CBE=22.5°. …………………………………7分 4、【朝阳】 27．（1）补全的图形，如图所示． DC M …..……………………………….……….1分 A EBF证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴?ABD?12?ABC?45?． ∵EM⊥BD， ∴?ABD??MEB?45?． ∴MB=ME．….……………………………….……..………………………..……….…2分 （2）①2AM?FC．…………………………….……..………………………..……….…3分 证明：如图，连接MC，MF, ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，?ABD??DBC?45?DC． ∵?ABD??MEB?45?，， M ∴?AEM??FBM． ∵AE =BF， AEBF∴△AEM≌△FBM． ∴AM=MF． ……………………….……..………………………..……….…4分 ∵AE =BF， ∴EF=BC=AB． ∴△MEF≌△MBC． ∴∠EMF=∠BMC，FM=MC． ∴∠FMC=90°． 20 ∴△FCM是等腰直角三角形． …….……..…………..………..……….…5分 ∴2AM?FC． ②2AM2?BM2?DM2．……………….……..……………………………….…7分 5、【石景山】 27．（1）①90． ………… 1分 ②证明：连接PE，如图1． ∵四边形ABCD是正方形， ∴CB?AB，?1??2?45°，?3??4?90°． ∵将线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BE， ∴BE?BP，?5??4?90°． ∴PE?2PB， ?5??3． ∴△CBE≌△ABP（SAS）． ………………………… 3分 ∴EC?PA，?6??1?45°． ∴?PCE??2??6?90°． 在Rt△PCE中，由勾股定理，得EC2?PC2?PE2． ……… 4分 ∵EC?PA，PE?2PB， ∴PA2?PC2?2PB2． ………………………… 5分 ADP1PAD 3 B4526CEBCE 图1 图2 （2）①补全的图形如图2所示． ………………………… 6分 ②4． ………………………… 7分 21 6、【丰台】 27. 解：（1）25°；…………………………………1分 （2）①正确补全图形；……………………2分 ME②猜想： NC+ND=NB. ……………3分 证明：在DM延长线上取一点E，使DE=BN. ∵BN⊥DM, ∴∠BND=90°. D3N12C4∵四边形ABCD是正方形, ∴CD=CB，∠BND=∠BCD. ∵∠1=∠2, ∴∠3 =∠4. AB∴△CDE ≌ △CBN. …………………………………………………………5分 ∴CE=CN，∠DCE=∠BCN. ∴∠NCE=∠BCD=90°. ∵在Rt△NCP中，CN=CE, ∴NE=2NC. ∵NE+ND=DE, ∴2NC+ND=NB. ………………………………………………………6分 证法不唯一，其他证法请参照示例相应步骤给分. 7、【门头沟】 27．（1）①略；…………………………………………………………1分 ②45°-α；…………………………………………………………………………2分 ③线段BF，CF，DF之间的数量关系是DF?BF?2CF. ……………3分 证明如下：在DF上截取DM=BF，连接CM. ∵ 正方形ABCD， ∴ BC=CD，∠BDC=∠DBC=45°，∠BCD=90° ∴∠CDM=∠CBF=45°-α， ∴△CDM≌△CBF（SAS）. ……………………………………4分 ∴ DM=BF， CM=CF，∠DCM=∠BCF. AD22 M∴ ∠MCF =∠BCF+∠MCE =∠DCM+∠MCE =∠BCD=90° ∴ MF = 2CF.…………………5分 ∴DF?DM?MF?BF?2CF. （2）DF?BF?2CF，BF?DF?2CF，BF?DF?2CF.………………7分 8、【平谷】 27．（1）○4 ································································································ 1 （2）解： ○ 1想法一：延长CB使BE=CD，连接AE ∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ABE+∠ABC=180°， ∴∠ADC=∠ABE． ········································································2 ∵AD=AB， ∴△ADC≌△ABE． ∴∠ACD=∠AEB; AC=AE． ·····················································································3∴∠ACB=∠AEB． ∴∠ACD=∠ACB． 即AC平分∠BCD ··········································································4 想法二：将△ACD绕点A顺时针旋转，使AD边与AB边重合，得到△ABE， ∴△ADC≌△ABE． ∴∠ADC=∠ABE; ∠ACD=∠AEB; AC=AE． ··················································································2 ∵∠ADC+∠ABC=180°， 23 ∴∠ABE+∠ABC=180°． ∴点C,B,E在一条直线上． ······························································3 ∵AC=AE， ∴∠ACB=∠AEB． ∴∠ACD=∠ACB． 即AC平分∠BCD． ····································································4 2 延长CB使BE=CD，连接AE， ○ 1得△ACE为等腰三角形． 由 ○ ∵∠BAD =90°， ∴∠EAC=90°． ··········································································5 ∴CE2?2AC2． ······································································ 6 ∴CE?2AC ． ∴BC+CD=2AC． ····································································7 9、【昌平】27. 解：（1）45°. ……………………1分 （2）如图所示. ………………………………2分 ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴∠1=∠2=∠3=∠ABF =∠C=90°. ∵∠4=60°, EF =EB, ∴∠F=∠5=60°. ∴∠6=∠G= 30°. ………………3分 ∴AE=E4A21653BDG1BE. 2 F∵AB =3， ∴根据勾股定理可得：AE＝3. …………………4分 ∵AD=2， ∴DE=2＋3. ……………………5分 ∴EG=4＋23. ……………………6分 （3）EG=213. ………………………7分 C24 10、【顺义】 27．解：（1）依题意补全图形如下： …………………………………………… 1分 （2）∵点H为线段DG的中点， ∴DH＝GH． 在ΔPDH和ΔEGH中， ∵EH=PH，∠EHG=∠PHD， ∴ΔPDH≌ΔEGH（SAS）． ∴DP＝EG． ∵G为EF的中点， ∴EF＝2EG． ∵EF＝2EB， ∴BE＝EG＝DP． …………………………………………………… 4分 （3）猜想：EC=CP． ………………………………………………………… 5分 由（2）可知ΔPDH≌ΔEGH． ∴∠HEG=∠HPD． ∴DP∥EF． ∴∠PDC=∠DFE． 又∵∠BEF=∠BCD=90°， ∴∠EBC+∠EFC=180°． 又∵∠DFE+∠EFC=180°， ∴∠EBC=∠DFE=∠PDC． ∵BC=DC，DP=BE， ∴ΔEBC≌ΔPDC（SAS）． ∴EC=PC． …………………………………………………………… 7分 25 11、【延庆】 27.（1）相等（CQ=PD） ………… ……1分 （2）① ………… …2分 ②结论成立，证明如下： 证明： 连接HC， ………… ……3分 ∵正方形ABCD，BD为对角线 ∴∠5=45°，可证△ADH ≌ △CDH，得∠1=∠2 又∵QH⊥BD，∠5=45°∴∠4=45°，∴∠4=∠5 ∴QH=HD，∠HQC=∠HDP=135° ………… ……4分 ∵AH⊥HP，AD⊥DP，∴∠AHP=∠ADP=90° 又∵∠AOH=∠DOP ∴∠1=∠3 ∴∠2=∠3 可证△CQH ≌ △PDH（AAS） 26 ∴CQ=PD 成立 ………… ……5分 （3）第一种情况 如图解释 PC= 3-1 …6分 第二种情况 如图解释： PC=3?1 ……7分 12、【大兴】 27.（1）① ………………………………………………………1分 ② FM=FC．………………………………………………………2分 （2）CE与AF的数量关系是CE=2AF………………………………3分 证明： 过点M作MG∥CD交AD于点G． ∵B，M关于AD对称， ∴∠1=∠2，AB=AM． 27 ∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AB∥CD. ∵MG∥CD， ∴MG∥AB． ∴∠2=∠3． ∴∠1=∠3． ∴AM=MG．………………………………………………………………4分 ∵AB=AM，AB=CD， ∴MG=CD． ∵MG∥CD， ∴ ∠4=∠FDC． ∵∠MFG=∠CFD， ∴ △MFG≌ △CFD. ∴ FM=FC．……………………………………………………………………5分∴F为CM的中点， ∵H为ME的中点, ∴ FH∥CE， ?FH?12CE …………………………………………………………………6分 ∵∠ABC=135°， ABCD中，AD∥BC， ∴∠2=180°-∠ABC=45°． ∴由对称性，∠1=∠2=45°. ∵FH∥CD，AB∥CD， 28 ∴FH∥AB． ∴∠HFA=∠2=45°. ∴∠FHA=90°，HA=HF． ∴FH2?AH2?AF2 ∴2FH2?AF2……………………………………………………………………7分 又FH?1CE 2122∴2(CE)?AF 21?CE2?AF2 2?CE?2AF．………………………………………………………………8分 13、【怀柔】27. （1）∵∠BAM=∠EAM=α=30°, ∴∠EAD=90°+30°+30°=150° ∵AE= AB=AD，∴∠E=∠ADE=15 °，∴∠AND=45 ° …………………2分 （2）∠AND的度数不发生变化 ∵∠BAM=∠EAM=α，∴∠EAD=90°+2α.∵AE=AB=AD， 180o?(90o?2α)∴∠E=∠ADE==45o-α.∴∠AND=∠EAN+∠E=45o-α+α=45o………4分 2（3） 过点 A作AG⊥AM,交DE 于点G,连接BN ∵点B 与 点E关于直线AM对称，∴△ABN≌△AEN.∴∠E=∠ABN 又∵∠E=∠ADE，∴∠ ABN=∠ADE.∵∠DAB=∠GAN=90° ∴∠DAG=∠BAN. 又∵AN=AG，∴△ABN≌△ADG（ASA） ∴AN=AG. △ANG 为等腰直角三角形. ∴AN2+AN2=NG2.∴NG=2AN.又∵EN=BN=DG ∴DN=2AN?EN. ……………7分 14、【燕山】 27．(1) 补全的图形如图所示； ………………………………1分 MBCENADGADA1ED29 EB2P3CFBPCF (2) 证明：如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝90°， ………………………………2分 ∴∠1＋∠2＝90°． ∵线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE， ∴PA＝PE，∠APE＝90°， ∴∠2＋∠3＝90°， ∴∠1＝∠3． ………………………………3分 ∵EF⊥BC于F， ∴∠EFP＝90°＝∠B， 在△ABP和△PFE中， ∠B＝∠EFP，∠1＝∠3，PA＝PE， ∴△ABP≌△PFE， ∴BP＝EF． ………………………………4分 (3) PG2＝CD2?12CE2． ………………………………5分 证明：如图， ∵四边形ABCD是正方形， AD∴AB＝BC＝CD． ∵△ABP≌△PFE， E∴AB＝PF， BPCF∴BC＝PF＝CD， G∴BC－PC＝PF－PC，即BP＝CF． 又∵BP＝EF， 30 ∴EF＝CF， ∴△CEF是等腰直角三角形，EF＝2CE． 2∵∠FCG＝∠ACB＝∴CF＝FG＝EF， 1∠DCB＝45°， 2∴PF为线段EG的垂直平分线， ∴PE＝PG． 在Rt△PFE中，有PE2＝PF2?EF2， 1∴PG2＝CD2?CE2． ………………………………7分 215、【清华附中】 解：（1）∵?ABE是等边三角形，∴BA?BE，?ABE?60?. ∵?MBN?60?，∴?MBN??ABN??ABE??ABN，即?BMA??NBE. 又∵MB?NB， ∴?AMB??ENB?SAS?. …………3 分 （2）如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时， AM?BM?CM的值最小. …………4 分 理由如下：连接MN，由（1）知， ?AMB??ENB，∴AM?EN. ∵?MBN?60?，MB?NB， ∴?BMN是等边三角形，∴BM?MN. ∴AM?BM?CM?EN?MN?CM 根据“两点之间线段最短”，得 EN?MN?CM?EC最短 ∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM?BM?CM的值最小， 即等于EC的长 …………………6 分 （3）正方形的边长为2 …………7 分 31 过E点作EF?CB交CB的延长线于F，∴?EBF?90??60??30?. 设正方形的边长为x，则BF?3x2x,EF?2. 在Rt?EFC中，∵EF2?FC2?EC2，∴ ??x?2??2????3?x?x?2???2???3?1?2 解得，x?2（舍去负值）.∴正方形的边长为2 16、【房山】 32
相关推荐：
loading