【解析】 设P(x0，y0)，因为y＝e， 所以y′＝－ex，
所以点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2， 所以－x0＝ln 2，所以x0＝－ln 2， 所以y0＝eln 2＝2，
所以点P的坐标为(－ln 2，2)． 【答案】 (－ln 2，2)
角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值
(1)(2020·宁波调研)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a
＋b的值等于( )
A．2 C．1
B．－1 D．－2
－
－x
(2)(2020·绍兴调研)若直线y＝ax是曲线y＝2ln x＋1的一条切线，则实数a＝________． 13＋a＋b＝3，??
2【解析】 (1)依题意知，y′＝3x＋a，则?3×12＋a＝k，
??k＋1＝3，a＝－1，??
由此解得?b＝3，所以2a＋b＝1，选C.
??k＝2，
2
(2)依题意，设直线y＝ax与曲线y＝2ln x＋1的切点的横坐标为x0，则有y′|x＝x0＝，
x02??a＝x0于是有?， ??ax0＝2ln x0＋121解得x0＝e，a＝＝2e－.
x021
【答案】 (1)C (2)2e－
2
(1)求曲线切线方程的步骤
①求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率； ②由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． (2)求曲线的切线方程需注意两点
①当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴(此时导数不存在)时，切线方程为x＝x0；
②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．
1
1．(2020·杭州七校联考)曲线y＝ex在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
2( )
9
A.e2 2C．2e2
B．4e2 D．e2
111111
解析：选D.因为y′＝ex，所以k＝e×4＝e2，所以切线方程为y－e2＝e2(x－4)，
2222221
令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，所以所求面积为S＝×2×|－e2|＝e2.
2
2．已知函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex(其中e是自然对数的底数，a∈R)，若f(x)在(0，f(0))处的切线与直线x＋y－1＝0垂直，则a＝________．
解析：f′(x)＝(x2＋ax－1)′ex＋(x2＋ax－1)(ex)′＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax－1)ex＝[x2＋(a＋2)x＋(a－1)]ex，故f′(0)＝[02＋(a＋2)×0＋(a－1)]e0＝a－1.
因为f(x)在(0，f(0))处的切线与直线x＋y－1＝0垂直，故f′(0)＝1，即a－1＝1，解得a＝2.
答案：2
3．(2020·台州高三月考)已知曲线f(x)＝xn1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 018x1＋log2 018x2＋…＋log2 018x2 017的值为________．
解析：f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，点P(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，1nn令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝.
n＋1n＋1n＋1
1232 0162 0171
所以x1·x2·…·x2 017＝×××…××＝.
2342 0172 0182 018则log2 018x1＋log2 018x2＋…＋log2 018x2 017 ＝log2 018(x1·x2·…·x2 017)＝log2 018答案：－1
两条曲线的公切线
若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b
＝________．
【解析】 设y＝kx＋b与y＝ln x＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，ln x1＋2)和(x2，ln(x2
＋1))．
111
则切线分别为y－ln x1－2＝(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝(x－x2)，化简得y＝x＋ln x1
x1x1x2＋1
1
＝－1. 2 018
＋
1x2
＋1，y＝x－＋ln(x2＋1)，
x2＋1x2＋1
?x＝x＋1，依题意?
x
?ln x＋1＝－x＋1＋ln（x＋1），
1
21
22
2
11
1
解得x1＝，从而b＝ln x1＋1＝1－ln 2.
2【答案】 1－ln 2
求两条曲线的公切线的方法
(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关系式求解． (2)利用公切线得出关系式．
设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，y1)，在y＝g(x)上的切点P2(x2，y2)，则f′(x1)＝g′(x2)f（x1）－g（x2）＝.
x1－x2
1．已知函数f(x)＝x2－4x＋4，g(x)＝x1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为( ) A．三条 C．一条
B．二条 D．0条
－
解析：选A.设公切线与f(x)和g(x)分别相切于点(m，f(m))，(n，g(n))，f′(x)＝2x－4，g′g（n）－f（m）n2
(x)＝－x，g′(n)＝f′(m)＝，解得m＝－＋2，代入化简得8n3－8n2＋1
2n－m
－2
－
2
0，?＝0，构造函数f(x)＝8x3－8x2＋1，f′(x)＝8x(3x－2)，原函数在(－∞，0)上单调递增，在??3?22
，＋∞?上单调递增，极大值f(0)＞0，极小值f??＜0，故函数和x轴有3上单调递减，在??3??3?个交点，方程8n3－8n2＋1＝0有三个解，故切线有3条．故选A.
2．曲线f(x)＝ex在x＝0处的切线与曲线g(x)＝ax2－a(a≠0)相切，则过切点且与该切线垂直的直线方程为__________．
解析：曲线f(x)在x＝0处的切线方程为y＝x＋1. 设其与曲线g(x)＝ax2－a相切于点(x0，ax20－a)． 则g′(x0)＝2ax0＝1，且ax20－a＝x0＋1. 1
解得x0＝－1，a＝－，切点坐标为(－1，0)．
2所以过切点且与该切线垂直的直线方程为 y＝－1·(x＋1)，即x＋y＋1＝0. 答案：x＋y＋1＝0
[基础题组练]
1．函数y＝x2cos x在x＝1处的导数是( ) A．0 C．cos 1－sin 1
B．2cos 1－sin 1 D．1
解析：选B.因为y′＝(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2·(cos x)′＝2xcos x－x2sin x，所以y′|x＝1＝2cos 1－sin 1.
2．(2020·衢州高三月考)已知t为实数，f(x)＝(x2－4)(x－t)且f′(－1)＝0，则t等于( ) A．0 1C. 2
B．－1 D．2
解析：选C.依题意得，f′(x)＝2x(x－t)＋(x2－4)＝3x2－2tx－4，所以f′(－1)＝3＋2t－41
＝0，即t＝.
2
3．(2020·温州模拟)已知函数f(x)＝x2＋2x的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)处的切线互相垂直，则x2－x1的最小值为( )
1A. 23C. 2
B．1 D．2
解析：选B.因为x1＜x2＜0，f(x)＝x2＋2x， 所以f′(x)＝2x＋2，
所以函数f(x)在点A，B处的切线的斜率分别为f′(x1)，f′(x2)， 因为函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直， 所以f′(x1)f′(x2)＝－1. 所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1， 所以2x1＋2＜0，2x2＋2＞0，
1
所以x2－x1＝[－(2x1＋2)＋(2x2＋2)]≥－（2x1＋2）（2x2＋2）＝1，当且仅当－(2x1
2＋2)＝2x2＋2＝1，
31
即x1＝－，x2＝－时等号成立．
22所以x2－x1的最小值为1.故选B.
4．已知f(x)＝ax4＋bcos x＋7x－2.若f′(2 018)＝6，则f′(－2 018)＝( ) A．－6 C．6
B．－8 D．8
解析：选D.因为f′(x)＝4ax3－bsin x＋7. 所以f′(－x)＝4a(－x)3－bsin(－x)＋7 ＝－4ax3＋bsin x＋7. 所以f′(x)＋f′(－x)＝14. 又f′(2 018)＝6，
所以f′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.
5.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )
A．－1 C．2
B．0 D．4
11
解析：选B.由题图可得曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－.又因为
33g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1
－?＝0. 1＋3×??3?
6．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2距离的最小值为( ) A．1 C.2 2
B.2 D.3
1
解析：选B.因为定义域为(0，＋∞)，令y′＝2x－＝1，解得x＝1，则在P(1，1)处的切
x线方程为x－y＝0，所以两平行线间的距离为d＝
2
＝2. 2
ln x
7．已知f(x)＝2，g(x)＝(1＋sin x)2，若F(x)＝f(x)＋g(x)，则F(x)的导函数为________．
x＋1（ln x）′（x2＋1）－ln x（x2＋1）′
解析：因为f′(x)＝
（x2＋1）212
（x＋1）－2xln x2xx＋1－2x2ln x＝＝，
（x2＋1）2x（x2＋1）2
g′(x)＝2(1＋sin x)(1＋sin x)′＝2cos x＋sin 2x， x2＋1－2x2ln x所以F′(x)＝f′(x)＋g′(x)＝＋2cos x＋sin 2x.
x（x2＋1）2x2＋1－2x2ln x答案：＋2cos x＋sin 2x
x（x2＋1）2
11
8．(2020·绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线y＝x2－3ln x的一条切线的斜率为－，则
42
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