复变函数与积分变换试题及答案20课件

?Cdz。 ?0（当n?0时）

(z?z0)n?1ez（2）?|z|?3dz 2(z?1)(z?2)ezez??1dz??1dz 22|z?1|?|z?2|?(z?1)(z?2)(z?1)(z?2)22eez(z?1)2z?2 ??dz??1dz

|z?1|?1(z?1)2|z?2|?22z?2z

ezez ?2π i?()'?2π i?z?2z?1(z?1)2 ?

z??2

422eπ i?e?2π i?(2e?e?2)π i. 9996.（5×2）分别在圆环 （1）0?|z|?1，(2) 0?|z?1|?1内将函数

f(z)?1展为罗朗级数。 2z(1?z)?11n解：（1）??()'?(z)' ?21?z(1?z)n?0 ??nzn (|z|?1),

n?0?

?11n?1 ?f(z)???nz (|z|?1). ?2z(1?z)n?1?11(2) ? ???(?1)n(z?1)n (|z?1|?1),

z1?z?1n?011 ? f(z)??z(1?z)2(z?1)2??(?1)n?0?n(z?1)n

??(?1)n(z?1)n?2 (|z?1|?1).

n?07. （12）求下列各函数在其孤立奇点的留数。

9

z?sinz1f(z)?(1) f(z)?; (2) ; (3) f(z)?zez?1. 32zzsinz1解：（1） ? z?0为f(z)的可去奇点,

? Res[f(z), 0]?0;

（2） ? z?0为f(z)的三阶极点, z?kπ(k??1, ?2, ?)为f(z)的一阶极点,

? Res[f(z), 0]?

111lim(z3?2)''?, 2!z?06zsinz1? Res[f(z), kπ]?2zsinz?z2cosz1z?1z?kπ(?1)k; ?2(kπ)（3） ? z?1为f(z)的本性奇点, ze?(z?1?1)?1, nn?0n!(z?1)? ? Res[f(z), 1]?c?1?3。 28.（7）分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是什么。 分式线性函数具有保角性、保圆性、保对称性的映照特点， 指数函数具有将带形域映照为角形域的映照特点， 幂函数具有将带形域映照带形域的映照特点。

9.（6分）求将上半平面 Im(z)?0 保形映照成单位圆 |w|?1 的分式线性函数。

z?z0 (Im(z0)?0) 解：w?ez?z0i?10.（5×2）（1）己知 F[f(t)]?F(?)，求函数f(2t?5)的傅里叶变换；

10

（2）求函数F(?)?2的傅里叶逆变换。

(3?i?)(5?i?)b1ia?? 解 （1） ? F[f(at?b)]?eF(),

|a|a1?i??? F [f(2t?5)]?e2F();

2211?（2）? F(?)?

3?i?5?i?11]?F-1[] ? f(t)?F-1[3?i?5?i?5?e?3t?e?5t, t?0,??

t?0;?0 ,

?ei?t|???0?ei?0t,

11.（5×2）（1）求函数f(t)?e2tu(t?2)的拉普拉斯变换； （2）求拉普拉斯逆变换L[-1

s]。

s2?4s?5解 （1） F(s)?e4L[e2(t?2)u(t?2)]?e4e?2sL[e2tu(t)]

e2(2?s)?; s?2

（2）L[-1

ss?2?2?2t-s?2-1

e]] = L=L[2[]s2?4s?5s?1(s?2)2?1?2t =e =e?L[-1

s1-1

]?[]? 2Ls2?1s2?1?2t（cost?2sint）。

t12.（6分）解微积分方程：y'(t)??0y(?)d??1, y(0)?0。

解：? sY(s)?Y(s)?1s11 y(t)?sint。 ,Y(s)?2, ?ss?111