信号与系统课后习题与解答第三章

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3-1 求图3-1所示对称周期矩形信号的傅利叶级数（三角形式和指数形式）。

f(t)E2 … …?T?T02E2T2Tt? 图3-1

解 由图3-1可知，f(t)为奇函数，因而an?a0?0

4T2?bn??2f(t)sin(n?1t)dt,?1?T0T?4E?2Esin(n?t)dt?cos(n?1t)1?T2n?1T0T20T2

所以，三角形式的傅利叶级数（FS）为

f(t)?2E?112??sin(?t)?sin(3?t)?sin(5?t)??,?? 1111???35T??n?0,?2,?4,??0,1?指数形式的傅利叶级数（FS）的系数为Fn??jbn??jE

2?,n?0,?1,?3,??n??所以，指数形式的傅利叶级数为

f(t)??

jE?ej?1t?jE?e?j?1t?jEj?1tjE2? e?3e?j?1t??,?1?3??T3-2 周期矩形信号如图3-2所示。若：

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f(t)E?T??20?2Tt 图3-2

重复频率f?5kHz 脉宽 ??20?s 幅度 E?10V

求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。

解 对于图3-2所示的周期矩形信号，其指数形式的傅利叶级数（FS）的系数

12?Fn??2Tf(t)ejn?1tdt,?1?T?2T?12E?n?1?jn?1tEedt?sin??T??2n??2?T?E??n?1??Sa?????T?2?

则的指数形式的傅利叶级数（FS）为

f(t)?n????Fen?jn?1tE??Tn????Sa????n?1?2?jn?1t ?e?其直流分量为F0?limE??n?1??E?Sa? ??n?0T2T??基波分量的幅度为F?1?F1?2E???sin??1?? ?2??二次谐波分量的幅度为F?2?F2????sin?2?1?? ?2??E三次谐波分量的幅度为F?3?F3?由所给参数f?5kHz可得

2E???sin?3?1?? 3?2??精选文档

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?1?104?rad/s,T?2?10?4s 将各参数的值代入，可得

10?20?10?6?1V 直流分量大小为?42?10

基波的有效值为

2?10102sin104??10?10?6?sin18??1.39(V)

?2?1052sin2?104??10?10?6?sin36??1.32(V)

?2?2?10102sin3?104??10?10?6?sin524??1.21(V)

3?32???二次谐波分量的有效值为

??三次谐波分量的有效值为

??3-3 若周期矩形信号f1(t)和f2(t)的波形如图3-2所示，f1(t)的参数为??0.5?s，

T?1?s ，E?1V； f2(t)的参数为??1.5?s，T?3?s ，E?3V，分别求：

（1）f1(t)的谱线间隔和带宽（第一零点位置），频率单位以kHz表示； （2）f2(t)的谱线间隔和带宽； （3）f1(t)与f2(t)的基波幅度之比； （4）f1(t)基波与f2(t)三次谐波幅度之比。

解 由题3-2可知，图3-2所示周期矩形波形的傅利叶级数为

E?f(t)?T2??n?1??jn?1tSae,?? ???12T?????且基波幅度为

2E??2E??t??sin??1???sin?? ?2????T?2E???2E?3?t?sin?3?1???sin?? 3?23?T????三次谐波幅度为

另外，周期信号的频谱是离散的，每两根相邻谱线间的间隔就是基频?1。 周期矩形信号频谱的包络线是抽样函数，其第一个零点的位置为

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2?n??2???令1???n?1?????。注意，频谱还可以表示为频率f的函数。由?2?????2?f可知，若以f为频谱图的横轴，则谱线间隔就为，第一个零点的位置就为f?1?。

依据以上结论，可得到题中个问题的答案如下： （1）f1(t)的谱线间隔?11??1000kHz T1?s1?1?2000kHz 0.5?s带宽（第一零点位置）?

（2）f2(t)的谱线间隔?1?111???103kHz T3?s3带宽???12??103kHz 1.5?s3（3）f1(t)的基波幅度?2?1???0.5?s?2sin?? ?????1?s??f2(t)的基波幅度?2?3???1.5?s?6sin??3?s???? ???因此f1(t)的基波幅度：f2(t)基波幅度（4）f2(t)的三次谐波幅度???26:?1:3

2?3?3??1.5?s?2sin??3?s???? 3???因此f1(t)基波幅度：f2(t)三次谐波幅度

??22:?1:1

3-4 求图3-3所示周期三角信号的傅利叶级数并画出幅度谱。

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f(t)E0 图3-3T2Tt

解 由图3-3可知，该周期三角信号是偶函数，因而bn?0 即f(t)不包含正弦谐波分量。

TEa0??2Tf(t)dt?

2?22TE2?an??2Tf(t)cos(n?1t)dt?,?1?2?22T42E??2tcos(n?1t)dt0TTTT? 8E1?2?2sin(n?t)dt?2?tsin(n?t)??101?0Tn?1??n?2,4,??0,8E??n?1T????cos???1???4E2?,n?1,3,?(n?1T)??2????2?(n?)从而f(t)?E4E?112???2?cos(?1t)?2cos(3?1t)?2cos(5?1t)???,?1? 2??35T?TTT幅度谱如图3-4所示。

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