李庆扬数值分析第五版习题复习资料清华大学出版社

故

a0?a1x?a2x2R21(x)?1?b1x211?x?x236?11?x36?4x?x2?6?2x

b

(2)?S??(x)?f??(x)?S??(x)?dxa??S??(x)d?f?(x)?S?(x)?abbb?S??(x)?f?(x)?S?(x)????f?(x)?S?(x)?d[S??(x)]aa?S??(b)?f?(b)?S?(b)??S??(a)?f?(a)?S?(a)???S???(x)?f?(x)?S?(x)?dxab

?S??(b)?f?(b)?S?(b)??S??(a)?f?(a)?S?(a)???S???(k?0n?1n?1xk?xk?1xk?1)g??f?(x)?S?(x)?dxxk2xk?1xk?xk?1?S??(b)?f?(b)?S?(b)??S??(a)?f?(a)?S?(a)???S???()g?f?(x)?S?(x)?xk2k?0?S??(b)?f?(b)?S?(b)??S??(a)?f?(a)?S?(a)?

第四章 数值积分与数值微分

1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具

有的代数精度：

(1)?f(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h);?hh(2)?2h?2h1f(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h);

(3)?f(x)dx?[f(?1)?2f(x1)?3f(x2)]/3;?1h(4)?f(x)dx?h[f(0)?f(h)]/2?ah2[f?(0)?f?(h)];0解：

求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若(1)?h?hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)

令f(x)?1，则

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2h?A?1?A0?A1

令f(x)?x，则

0??A?1h?A1h

令f(x)?x，则

223h?h2A?1?h2A1 3从而解得

4?A??03h?1??A1?h

3?1?A???13h?令f(x)?x，则

3?h?hf(x)dx??x3dx?0

?hhA?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)?0

故

?h?hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)成立。

4令f(x)?x，则

?h?hf(x)dx??x4dx??hh25h52A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)?h53故此时，

h

??hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)

h?h故

?f(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)

2h具有3次代数精度。 （2）若

??2hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)

令f(x)?1，则

4h?A?1?A0?A1

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令f(x)?x，则

0??A?1h?A1h

令f(x)?x，则

2163h?h2A?1?h2A1 3从而解得

4?A??h?03?8?A?h ?13?8?A???13h?令f(x)?x，则

3?2h?2hf(x)dx??2h?2hx3dx?0

A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)?0

故

?2h?2hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)成立。

4令f(x)?x，则

?2h?2hf(x)dx??2h?2hx4dx?645h 5165h 3A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)?故此时，

2h???2hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)

因此，

2h?2hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)

1具有3次代数精度。 （3）若

??1f(x)dx?[f(?1)?2f(x1)?3f(x2)]/3

令f(x)?1，则

?1?1f(x)dx?2?[f(?1)?2f(x1)?3f(x2)]/3

令f(x)?x，则

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0??1?2x1?3x2

令f(x)?x，则

22?1?2x12?3x2

2从而解得

?x1??0.2899?x1?0.6899或? ??x2?0.5266?x2?0.1266令f(x)?x，则

3?1?1f(x)dx??x3dx?0

?11[f(?1)?2f(x1)?3f(x2)]/3?0

故

?1?1f(x)dx?[f(?1)?2f(x1)?3f(x2)]/3不成立。

h因此，原求积公式具有2次代数精度。 （4）若

?0f(x)dx?h[f(0)?f(h)]/2?ah2[f?(0)?f?(h)]

令f(x)?1，则

?h0f(x)dx?h,

h[f(0)?f(h)]/2?ah2[f?(0)?f?(h)]?h

令f(x)?x，则

hh1f(x)dx??xdx?h202?01h[f(0)?f(h)]/2?ah2[f?(0)?f?(h)]?h22令f(x)?x，则

2

?h0h1f(x)dx??x2dx?h3031h[f(0)?f(h)]/2?ah2[f?(0)?f?(h)]?h3?2ah22故有

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