空间几何体的表面积与体积训练题

空间几何体的表面积与体积训练题

一、题点全面练

1．(2019·沈阳质检)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是( )

A．4＋42 C．8＋42

B．42＋2 8D. 3

解析：选A 由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥P-ABCD，如图所示，其中PA⊥底面ABCD，四边形ABCD是正方形，且PA＝2，AB＝2，

PB＝22，所以该四棱锥的侧面积S是四个直角三角形的面积和，即S＝

1?1?2×?×2×2＋×2×22?＝4＋42.

2?2?

2．(2019·开封模拟)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )

A．4π C.

解析：选B 由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为α，由tan α＝

3π

＝3，得α＝，故底面面积13

4π

3

B.2π D．π

1π2π2π2

为××2＝，则该几何体的体积为×3＝2π. 2333

3．一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的

表面积为( )

A．72＋6π C．48＋6π

B．72＋4π D．48＋4π

31

解析：选A 由三视图知，该几何体由一个正方体的部分与一个圆柱的部

44分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π.

4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )

16π

A．64－

3C．64－16π

32πB.64－ 364π

D．64－

3

解析：选A 由三视图可知，该几何体是一个正方体中间挖去两个顶点相接的圆锥，其1116π16π23

中，两个圆锥的体积和是V锥＝Sh＝×π×2×4＝，∴V＝V正方体－V锥＝4－＝64

333316π

－. 3

5.(2018·广州调研)如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为( )

A.11π 2

B.6π D．12π

C．11π

解析：选C 根据三视图知，可将该三棱锥放在长方体中，如图中三棱锥S-ABC所示，取线段AC的中点O1，过O1作直线垂直于平面ABC交长方体的上底面于点P，因为△ABC是直角三角形，所以外接球的球心O必在直线PO1上，

1

R＝x＋，??210

，所以?2

??R＝－x2

2

2

连接SO，SP，OC，设OO1＝x，球的半径为R，易得SP＝

2

5

＋，2

1122

解得R＝，所以该三棱锥外接球的表面积S＝4πR＝11π，故选C.

4

6.如图，已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，过点A，P，C1的平面截正方体所得的截面为M，则截面M的面积为________．

解析：如图，取A1D1，AD的中点分别为F，G.连接AF，AP，PC1，C1F，

PG，D1G，AC1，PF.∵F为A1D1的中点，P为BC的中点，G为AD的中点，

∴AF＝FC1＝AP＝PC1＝

5

，PG綊CD，AF綊D1G.由题意易知CD綊2

C1D1，∴PG綊C1D1，∴四边形C1D1GP为平行四边形，∴PC1綊D1G，∴PC1

綊AF，∴A，P，C1，F四点共面，∴四边形APC1F为菱形．∵AC1＝3，

PF＝2，过点A，P，C1的平面截正方体所得的截面M为菱形APC1F，∴截面M的面积S＝AC1·PF16＝×3×2＝. 22

答案：

6

2

12

7．(2019·合肥质量检测)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．

解析：由三视图可知，该几何体由一个半圆柱与两个半球构成，故其表面积为4π×1112

＋×2×π×1×3＋2××π×1＋3×2＝8π＋6. 22

答案：8π＋6

8．已知三棱锥S -ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S -ABC的体积为9，则球O的表面积为________．

2

解析：如图，取SC的中点O，连接OA，OB.∵SA＝AC，SB＝BC，∴OA⊥SC，OB⊥SC，∵平面SAC⊥平面SBC，∴OA⊥平面SBC.设OA＝r，则VS-ABC11113

＝VA-SBC＝S△SBC×OA＝××2r×r×r＝r＝9.∴r＝3.∴球O的表面积为

33234πr＝36π.

答案：36π

9．已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？

解：如图为其轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S， 则??＋r＝R，即h＝2R－r. ?2 ?

因为S＝2πrh＝4πr·R－r＝ 4π

222

?h?2

2222

r2

R－r2

2

22

≤4π

2

r2＋R2－r2

4

2

＝2πR，

2

当且仅当r＝R－r，即r＝所以当内接圆柱底面半径为

2

R时，取等号， 2

2

R，高为2R时，其侧面积的值最大，最大值为2πR2. 2

10.如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD. (1)求证：平面AEC⊥平面BED；

(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E-ACD的体积为三棱锥的侧面积．

解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD. 因为BE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD， 所以BE⊥AC.

因为BD∩BE＝B，BD?平面BED，BE?平面BED， 所以AC⊥平面BED.

又AC?平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED. (2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°， 可得AG＝GC＝3xx，GB＝GD＝. 22

3

x. 2

6

，求该3

因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，