∴AB=BC，∠A=∠BCD=90°． ∵Q点为A点关于BP的对称点， ∴AB=QB，∠A=∠PQB=90°， ∴QB=BC，∠BQE=∠BCE=90°， ∴∠BQC=∠BCQ，
∴∠EQC+∠BQC=∠ECQ+∠BCQ=90°， ∴∠EQC =∠ECQ，
∴EQ=EC，即△CEQ为等腰三角形.
（3）如图，以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，以点C为圆心，以CD的长为半径画弧，两弧分别交于Q1，Q3．此时△CDQ1，△CDQ3都为以CD为腰的等腰三角形．
作CD的垂直平分线交弧AC于点Q2，此时△CDQ2以CD为底的等腰三角形．
①讨论Q1，如图，连接BQ1、CQ1，作PQ1⊥BQ1交AD于P，过点Q1，作EF⊥AD于E，交BC于F， ∵△BCQ1为等边三角形，正方形ABCD边长为2， ∴FC=1，Q1F=CQ12?FC2=3，Q1E=2-3， 在四边形ABPQ1中， ∵∠ABQ1=30°， ∴∠APQ1=150°，
∴∠EPQ1=30°，△PEQ1为含30°的直角三角形， ∴PE=3EQ1=23-3， ∵EF是BC的垂直平分线， ∴AE=
1AD=1， 2
∴x=AP=AE-PE=1-(23-3)=4-23.
②讨论Q2，如图，连接BQ2，AQ2，过点Q2作PG⊥BQ2，交AD于P，交CD于G，连接BP，过点Q2作EF⊥CD于E，交AB于F， ∵EF垂直平分CD， ∴EF垂直平分AB， ∴AQ2=BQ2． ∵AB=BQ2，
∴△ABQ2为等边三角形． ∴AF=
1AE=1，FQ2=AE2?AF2=3， 2在四边形ABQ2P中，
∵∠BAD=∠BQ2P=90°，∠ABQ2=60°， ∴∠APQ2=120°，
∴∠EQ2G=∠DPG=180°-120°=60°， ∴EQ2=EF-FQ2=2-3， EG=3EQ2=23-3，
∴DG=DE+GE=1+23-3=23-2，
∴DG=3PD，即PD=2-
23， 3∴x=AP=2-PD=23. 3
③对Q3，如图作辅助线，连接BQ1，CQ1，BQ3，CQ3，过点Q3作PQ3⊥BQ3，交AD的延长线于P，连接BP，过点Q1，作EF⊥AD于E，此时Q3在EF上，记Q3与F重合． ∵△BCQ1为等边三角形，△BCQ3为等边三角形，BC=2， ∴Q1Q2=23，Q1E=2-3， ∴EF=2+3， 在四边形ABQ3P中
∵∠ABF=∠ABC+∠CBQ3=150°， ∴∠EPF=30°， ∴EP=3EF=23+3， ∵AE=1，
∴x=AP=AE+PE=1+23+3=23+4.
综上所述：△CDQ为等腰三角形时x的值为4-23、23、23+4. 3【点睛】本题考查四边形的综合、正方形的性质、含30°角的直角三角形的性质，第三问是一个难度非常高
的题目，可以利用尺规作图的思想将满足要求的点Q找全．另外求解各个P点也是勾股定理的综合应用熟练掌握并灵活运所学知识是解题关键．
【变式3-2】（2019·河南中考模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+3交y轴于点A，交x轴于点B（-3，0）和
点C（1，0），顶点为点M． （1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E为x轴上一动点，若△AME的周长最小，请求出点E的坐标；
（3）点F为直线AB上一个动点，点P为抛物线上一个动点，若△BFP为等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）y??x?2x?3 ；（2）E（-
23，0）；（3）点P的坐标为（2，-5）或（1，0）． 7【解析】（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x-1），然后将点A的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式；
（2）作A关于x轴的对称点A′（0，-3），连接MA′交x轴于E，此时△AME的周长最小，求出直线MA'解析式即可求得E的坐标；
（3）如图2，先求直线AB的解析式为：y=x+3，根据解析式表示点F的坐标为（m，m+3）， 分三种情况进行讨论：
①当∠PBF=90°时，由F1P⊥x轴，得P（m，-m-3），把点P的坐标代入抛物线的解析式可得结论； ②当∠BF3P=90°时，如图3，点P与C重合， ③当∠BPF4=90°时，如图3，点P与C重合， 从而得结论．
【详解】（1）当x=0时，y=3，即A（0，3）， 设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x-1）， 把A（0，3）代入得：3=-3a， a=-1，
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