2.1.4 函数的奇偶性
1．下列函数中不是偶函数的是( )
22
A．y＝－3x B．y＝3x＋|x|
12
C．y＝ D．y＝x－x＋1
x2－1
2．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必定经过点( ) A．(a，f(－a)) B．(－a，f(a))
1
C．(－a，－f(a)) D．(a，f())
a
3．下列说法中，不正确的是( )
A．图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数 B．奇函数的图象一定过原点
C．偶函数的图象若不经过原点，则它与x轴的交点个数一定是偶数 D．图象关于y轴对称的函数一定是偶函数
4．如果定义在区间[3－a,5]上的函数f(x)为偶函数，那么a＝__________.
2
5．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则f(－2)＝__________.
1．函数f(x)、g(x)的图象分别如图所示：
则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是…( )
2．若f(x)在[－5,5]上是奇函数，且f(3) A．f(－1) 3．如果函数f(x)为偶函数，且在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区 间[－7，－3]上是( ) A．增函数且最小值为5 1 / 6 B．增函数且最大值为5 C．减函数且最小值为5 D．减函数且最大值为5 2 4．若f(x)＝x＋2ax－b为偶函数，且g(x)＝x＋b为奇函数，则a＝__________，b＝ __________. 53 5．已知f(x)＝x＋ax＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝__________. ax＋b12 6．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f()＝，求函数f(x)的解析 1＋x225 式． 7．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝a；32 (2)f(x)＝(1＋x)－3(1＋x)＋2； ?x(1－x)，x<0，? (3)f(x)＝? ??x(1＋x)，x>0. 3 1．函数f(x)＝x是__________；f(x)＝x是__________；f(x)＝x＋1是__________；f(x)＝|x|＋1是__________；f(x)＝x＋－x是__________． A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 2．对任意奇函数f(x)(x∈R)都有( ) A．f(x)－f(－x)>0 B．f(x)－f(－x)≤0 C．f(x)·f(－x)≤0 D．f(x)·f(－x)>0 2 3．设函数f(x)为奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则不等式f(x)>0的x的取值范围为( ) A．(1，＋∞) B．(0,1) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0，＋∞) 1 4．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，且f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)等于 2 ( ) 2 / 6 5 A．0 B．1 C. D．5 2 5.已知偶函数y＝f(x)在区间[0,4]上是增函数，则f(－3)与f(π)的大小关系为__________． 6．已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x|x－2|；当x<0时，f(x)＝__________. 7．已知f(x)是R上的奇函数，若将f(x)的图象向右平移一个单位，则得到一个偶函数的图象，若f(－1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 009)＝__________. 2 8．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x＋1，求f(x)的解析式． 9．已知函数f(x)、g(x)是区间D上的奇函数，求证：函数f(x)·g(x)是区间D上的偶函数． 10．已知f(x)是定义在[－6,6]上的奇函数，且f(x)在[0,3]上是x的一次式，在[3,6]上是x的二次式，且当3≤x≤6时，f(x)≤f(5)＝3，f(6)＝2，求f(x)的表达式． 3 / 6 答案与解析 课前预习 1．D 判断函数的奇偶性首先应判断定义域是否关于原点对称，其次再验证f(x)与f(－x)的关系，最后下结论． 2．C 由奇函数的定义可知，奇函数的图象必过点(x，f(x))与(－x，－f(x))． 1 3．B 如函数y＝是奇函数，但它的图象不过原点． x 4．8 若一个函数具备奇偶性，则它的定义域必关于原点对称．∴3－a＝－5.∴a＝8. 5．－5 由f(x)在(－∞，＋∞)上是奇函数得f(－x)＝－f(x)， 2 即f(－2)＝－f(2)＝－(2＋1)＝－5. 课堂巩固 1．A 由题意知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数， ∴f(x)·g(x)为奇函数，可排除B.再由x＝0时，f(x)·g(x)无意义，可排除C、D. 2．A f(－1)＝－f(1)，f(－3)＝－f(3)， 又f(3) 3．D 偶函数关于原点对称的两区间上单调性相反． 4．0 0 ∵f(x)为偶函数， ∴f(－x)－f(x)＝0对任意x∈R都成立． 22 ∴(x－2ax－b)－(x＋2ax－b)＝0， 即－4ax＝0恒成立． ∵x∈R，∴a＝0. 同理g(x)＝x＋b为奇函数，则g(－x)＋g(x)＝0对任意x∈R都成立．∴b＝0. 53 5．－26 令g(x)＝x＋ax＋bx，易得g(x)为奇函数， ∴f(－2)＝g(－2)－8＝10. ∴g(－2)＝18.∴g(2)＝－18. ∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26. 6．解：∵f(x)为定义在(－1,1)上的奇函数， ∴f(0)＝0，即b＝0. 1a2122 又f()＝，∴＝. 2515 1＋()22x ∴a＝1.∴f(x)＝. 1＋x2 7．解：(1)若a＝0，则满足f(－x)＝f(x)＝0且f(－x)＝－f(x)＝0，f(x)既是奇函数又是偶函数． 若a≠0，f(－x)＝f(x)＝a≠0，f(x)为偶函数． 323 (2)f(x)＝(x＋1)－3(1＋x)＋2＝x＋3x， 33 ∵f(－x)＝(－x)＋3×(－x)＝－(x＋3x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． (3)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)， 当x>0时，－x<0，f(－x)＝－x(1＋x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． 4 / 6 课后检测 1．C A C B D 判断函数的奇偶性必须确定两点． (1)定义域关于原点对称； (2)f(－x)与f(x)的关系． 2．C 奇函数的函数图象关于原点对称， 即f(－x)＝－f(x)， 2 ∴f(x)·f(－x)＝－f(x)≤0. 3．C 当x>0时，由f(x)>0，解得x>1，则当x∈(0,1)时，f(x)<0， 由对称性可得当x∈(－1,0)时，f(x)>0， ∴x的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)． 4．C f(5)＝f(3＋2)＝f(3)＋f(2)＝f(1)＋2f(2)． 当x＝－1时，由f(－1＋2)＝f(－1)＋f(2)可得f(2)＝2f(1)＝1， 15 ∴f(5)＝＋2×1＝. 22 5．f(－3) 6．x|x＋2|(x<0) 当x<0时，－x>0， ∴f(－x)＝－x|－x－2|＝－x|x＋2|. ∵f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－x·|x＋2|. ∴f(x)＝x|x＋2|(x<0)． 7．－2 由题意可构造一个如图所示的函数图象， 由图象易得f(1)＝－2，f(2)＝0，f(3)＝2，f(4)＝0，且函数的周期为4， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 009)＝f(2 009)＝f(1)＝－2. 8．解：当x<0时，－x>0， 22 ∴f(－x)＝(－x)＋1＝x＋1. 2 ∴f(x)＝－f(－x)＝－x－1. 当x＝0时，f(0)＝0. x2＋1，x>0，?? ∴f(x)＝?0，x＝0， ??－x2－1，x<0. 9.解：设F(x)＝f(x)·g(x)， 则F(x)的定义域为D. F(－x)＝f(－x)·g(－x)＝[－f(x)]·[－g(x)]＝f(x)·g(x)＝F(x)， ∴函数f(x)·g(x)是区间D上的偶函数． 2 10．解：由题意，当3≤x≤6时，设f(x)＝a(x－5)＋3， 2 又f(6)＝2，∴2＝a(6－5)＋3.∴a＝－1. 2 ∴当3≤x≤6时，f(x)＝－(x－5)＋3. 2 ∴f(3)＝－(3－5)＋3＝－1. 又f(x)为奇函数，∴f(0)＝0. ∴一次函数过(0,0)，(3，－1)两点． 1 ∴f(x)＝－x(0≤x≤3)． 3 当－3≤x≤0时，－x∈[0,3]， 5 / 6 1 ∴f(x)＝－f(－x)＝－x.31 ∴当－3≤x≤3时，f(x)＝－x.3 当－6≤x≤－3时，3≤－x≤6， 22 ∴f(－x)＝－(－x－5)＋3＝－(x＋5)＋3. 又f(－x)＝－f(x)， 2 ∴f(x)＝(x＋5)－3.(x＋5)2－3，－6≤x≤－3，??1 ∴f(x)＝?－x，－3 3??－(x－5)2＋3，3≤x≤6. 6 / 6
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