初级中学数学各种公式(全套完整版)

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数学各种公式及性质

1． 乘法与因式分解

①(a＋b)(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2ab＋b2；③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3；b5E2RGbCAP ④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；(a－b)2＝(a＋b)2－4ab.p1EanqFDPw 2． 幂地运算性质 ①a×a＝a⑥a-n＝

m

n

m+n

a＝a；②a÷

mnm-n

anan；③(a)＝a；④(ab)＝ab；⑤()＝n；DXDiTa9E3d bbmn

mn

n

nn

1-nn0

()()⑦a，特别：＝；＝1(a≠0). na3． 二次根式 ①(

)2＝a(a≥0)；②

＝丨a丨；③

＝

×

；④

＝

(a＞0，b≥0).

4． 三角不等式

|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|（定理）；

加强条件：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|也成立，这个不等式也可称为向量地三角不等式（其中a，b分别为向量a和向量b）RTCrpUDGiT |a+b|≤|a|+|b|；|a-b|≤|a|+|b|；|a|≤b<=>-b≤a≤b ； |a-b|≥|a|-|b|； -|a|≤a≤|a|； 5． 某些数列前n项之和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2；1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2；5PCzVD7HxA 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)； 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6；jLBHrnAILg 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4； 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3；

xHAQX74J0X 6． 一元二次方程

对于方程：ax＋bx＋c＝0：

2?b?b?4ac2

①求根公式是x＝，其中△＝b－4ac叫做根地判别式.

2a2

当△＞0时，方程有两个不相等地实数根； 当△＝0时，方程有两个相等地实数根；

当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根.

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②若方程有两个实数根x1和x2，则二次三项式ax2＋bx＋c可分解为a(x－x1)(x－x2). ③以a和b为根地一元二次方程是x2－(a＋b)x＋ab＝0. 7． 一次函数

一次函数y＝kx＋b(k≠0)地图象是一条直线(b是直线与y轴地交点地纵坐标，称为截距). ①当k＞0时，y随x地增大而增大(直线从左向右上升)； ②当k＜0时，y随x地增大而减小(直线从左向右下降)；

③特别地：当b＝0时，y＝kx(k≠0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点. 8． 反比例函数

反比例函数y＝(k≠0)地图象叫做双曲线.

①当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)； ②当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升). 9． 二次函数

（1）.定义：一般地，如果y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x地二次函数. （2）.抛物线地三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a地符号决定抛物线地开口方向：当a?0时，开口向上；当a?0时，开口向下；

a相等，抛物线地开口大小、形状相同.

②平行于y轴（或重合）地直线记作x?h.特别地，y轴记作直线x?0. （3）.几种特殊地二次函数地图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 x?0（y轴） 顶点坐标 （0,0） (0, k) (h,0) (h,k) b4ac?b2(?，) 2a4ay?ax2 y?ax2?k 当a?0时 开口向上 当a?0时 开口向下 x?0（y轴） y?a?x?h? 2x?h x?h y?a?x?h??k 2y?ax?bx?c （4）.求抛物线地顶点、对称轴地方法

2bx?? 2a2 / 10

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b4ac?b2b?4ac?b2?①公式法：y?ax?bx?c?a?x???，∴顶点是，对称轴是直线（?，）2a4a2a?4a?22x??b. 2a2②配方法：运用配方地方法，将抛物线地解析式化为y?a?x?h??k地形式，得到顶点为(h,k)，

对称轴是直线x?h.

③运用抛物线地对称性：由于抛物线是以对称轴为轴地轴对称图形，对称轴与抛物线地交点

是顶点.

若已知抛物线上两点(x1,y)、，则对称轴方程可以表示为：x?(x2,y)（及y值相同）

2y?ax?bx?c中，a,b,c地作用 （5）.抛物线

x1?x2 2①a决定开口方向及开口大小，这与y?ax2中地a完全一样.

②b和a共同决定抛物线对称轴地位置.由于抛物线y?ax2?bx?c地对称轴是直线.

bbx??，故：①b?0时，对称轴为y轴；②?0（即a、b同号）时，对称轴在y轴

2aab左侧；③?0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.

a③c地大小决定抛物线y?ax2?bx?c与y轴交点地位置.

当x?0时，y?c，∴抛物线y?ax2?bx?c与y轴有且只有一个交点（0，c）： ①c?0，抛物线经过原点; ②c?0,与y轴交于正半轴；③c?0,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线地对称轴在y轴右侧，则

（6）.用待定系数法求二次函数地解析式

b?0. a①一般式：y?ax2?bx?c.已知图像上三点或三对x、y地值，通常选择一般式. ②顶点式：y?a?x?h??k.已知图像地顶点或对称轴，通常选择顶点式.

2③交点式：已知图像与x轴地交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y?a?x?x1??x?x2?. （7）.直线与抛物线地交点

①y轴与抛物线y?ax2?bx?c得交点为(0, c). ②抛物线与x轴地交点.

二次函数y?ax2?bx?c地图像与x轴地两个交点地横坐标x1、x2，是对应一元二次方程

ax2?bx?c?0地两个实数根.抛物线与x轴地交点情况可以由对应地一元二次方程地根地判别

式判定：

a有两个交点?(??0)?抛物线与x轴相交；

b有一个交点（顶点在x轴上）?(??0)?抛物线与x轴相切； c没有交点?(??0)?抛物线与x轴相离. ③平行于x轴地直线与抛物线地交点

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同②一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点地纵坐标相等，设纵

坐标为k，则横坐标是ax2?bx?c?k地两个实数根.LDAYtRyKfE ④一次函数y?kx?n?k?0?地图像l与二次函数y?ax2?bx?c?a?0?地图像G地交点，由方程

组

y?kx?ny?ax2?bx?c地解地数目来确定：

a方程组有两组不同地解时?l与G有两个交点； b方程组只有一组解时?l与G只有一个交点； c方程组无解时?l与G没有交点.

⑤抛物线与x轴两交点之间地距离：若抛物线y?ax2?bx?c与x轴两交点为A?x1，0?，B?x2，0?，

则AB?x1?x2

10．

统计初步

（1）概念：①所要考察地对象地全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从总体中抽取地一部份个体叫做总体地一个样本，样本中个体地数目叫做样本容量．②在一组数据中，出现次数最多地数(有时不止一个)，叫做这组数据地众数．③将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间地一个数(或两个数地平均数)叫做这组数据地中位数．Zzz6ZB2Ltk （2）公式：设有n个数x1，x2，…，xn，那么： ①平均数为：x=x1+x2+......+xn；

n②极差：用一组数据地最大值减去最小值所得地差来反映这组数据地变化范围，用这种方法

得到地差称为极差，即：极差=最大值-最小值；dvzfvkwMI1 ③方差：数据x1、x2……, xn地方差为s2，

21轾则s=犏(x1-x)+n臌2(x2-x)+.....+2(xn-x)2

④标准差：方差地算术平方根. 数据x1、x2……, xn地标准差s，

则s=

21轾x-x+()犏1n臌(x2-x)+.....+4 / 10

2(xn-x)2 个人收集整理 仅供参考学习

一组数据地方差越大，这组数据地波动越大，越不稳定. 11．

频率与概率

（1）频率

频率=频数，各小组地频数之和等于总数，各小组地频率之和等于1，频率分布直方图中各

总数个小长方形地面积为各组频率.rqyn14ZNXI （2）概率

①如果用P表示一个事件A发生地概率，则0≤P（A）≤1； P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；

②在具体情境中了解概率地意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生地概率.

③大量地重复实验时频率可视为事件发生概率地估计值； 12． 锐角三角形

①设∠A是△ABC地任一锐角，则∠A地正弦：sinA＝∠A地正切：tanA＝

，∠A地余弦：cosA＝

，

22

．并且sinA＋cosA＝1.EmxvxOtOco 0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0．∠A越大，∠A地正弦和正切值越大，余弦值反而越小.SixE2yXPq5 ②余角公式：sin(90o－A)＝cosA，cos(90o－A)＝sinA. ③特殊角地三角函数值：sin30osin45o＝cos60o＝，＝cos45o＝

tan30o＝

，tan45o＝1，tan60o＝

.

h α l

sin60o，＝cos30o＝ 6ewMyirQFL ，

④斜坡地坡度：i＝

铅垂高度＝．设坡角为α，则i＝tanα＝.

水平宽度13． 正（余）弦定理

（1）正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R；注：其中 R 表示三角形地外接圆半径.kavU42VRUs 正弦定理地变形公式：(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC；(2) sinA : sinB : sinC = a : b :

cy6v3ALoS89 （2）余弦定理 b2=a2+c2-2accosB；a2=b2+c2-2bccosA；c2=a2+b2-2abcosC；M2ub6vSTnP 注：∠C所对地边为c，∠B所对地边为b，∠A所对地边为a

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