(3)若⊙P与线段QC只有一个公共点,求t的取值范围.
【考点】MR:圆的综合题.
【分析】(1)由题意知CD⊥OA,所以△ACD∽△ABO,利用对应边的比求出AD的长度,若Q与D重合时,则,AD+OQ=OA,列出方程即可求出t的值;
(2)由于0<t≤5,当Q经过A点时,OQ=4,此时用时为4s,过点P作PE⊥OB于点E,利用垂径定理即可求出⊙P被OB截得的弦长;
(3)若⊙P与线段QC只有一个公共点,分以下两种情况,①当QC与⊙P相切时,计算出此时的时间;②当Q与D重合时,计算出此时的时间;由以上两种情况即可得出t的取值范围. 【解答】解:(1)∵OA=6,OB=8, ∴由勾股定理可求得:AB=10, 由题意知:OQ=AP=t, ∴AC=2t,
∵AC是⊙P的直径, ∴∠CDA=90°, ∴CD∥OB, ∴△ACD∽△ABO, ∴, ∴AD=,
当Q与D重合时, AD+OQ=OA, ∴+t=6, ∴t=;
(2当⊙Q经过A点时,如图1, OQ=OA﹣QA=4, ∴t==4s, ∴PA=4, ∴BP=AB﹣PA=6,
过点P作PE⊥OB于点E,⊙P与OB相交于点F、G,
连接PF, ∴PE∥OA, ∴△PEB∽△AOB, ∴, ∴PE=,
∴由勾股定理可求得:EF=, 由垂径定理可求知:FG=2EF=;
(3)当QC与⊙P相切时如图2, 此时∠QCA=90°, ∵OQ=AP=t, ∴AQ=6﹣t,AC=2t, ∵∠A=∠A, ∠QCA=∠AOB, ∴△AQC∽△ABO, ∴, ∴, ∴t=,
∴当0<t≤时,⊙P与QC只有一个交点, 当QC⊥OA时, 此时Q与D重合, 由(1)可知:t=,
∴当<t≤5时,⊙P与QC只有一个交点,
综上所述,当,⊙P与QC只有一个交点,t的取值范围为:0<t≤或<t≤5.
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