对应的另一个结果可从下面的证明过程获得：
x?y?x?y?2x?2y．
2222由于内积可诱导出范数，所以一个内积空间可自然而然的看成一个线性赋范空间，然而一个线性赋范空间的范数却未必可由它的某个内积导出，什么情况下成立呢？
定理1.2 内积空间的特征性质
线性赋范空间X成为内积空间??x,y?X，范数满足平行四边形公式
x?y?x?y?2x?2y．
2222证明 必要性? 因为x?(x,x)，所以
x?y?x?y?(x?y,x?y)?(x?y,x?y)
?(x,x?y)?(y,x?y)?(x,x?y)?(y,x?y) ?(x,x?y)?(y,x?y)?(x,x?y)?(y,x?y)
2212?(x,2x)?(y,2y) ?2(x,x)?2(y,y)
?2x?2y
22充分性? 首先定义内积，当X是实内积空间时，定义
122(x,y)?(x?y?x?y)；
4当X是复内积空间时，定义
12222(x,y)?(x?y?x?y?ix?iy?ix?iy)．
4下面仅验证实内积空间定义的内积满足正定性、共轭对称性及线性性，对于X是复内积空间时同理可证(练习)．
1222由于(x,x)?(x?x?x?x)?x，显然内积公理中的正定性成立；根据
4112222(x,y)?(x?y?x?y)?(y?x?y?x)?(y,x)
44可知内积公理中的对称性同样成立．下面证明?x,y,z?X及??R有
(x?y,z)?(x,z)?(y,z)，(?x,z)??(x,z)．
由平行四边形公式知：
zzzz(x?)?(y?)?(x?)?(y?)2222zzzz(x?)?(y?)?(x?)?(y?)2222222zz?2x??2y?；
22zz?2x??2y?．
2222222上述两式相减并除以4得，
11zz1zz22(x?y?z?x?y?z)?2?(x??x?)?2?(y??y?) 44224222222zz即(x?y,z)?2(x,)?2(y,)，特别地，取x?0或y?0得
22zz(x,z)?2(x,)，(y,z)?2(y,)，
22于是
(x?y,z)?(x,z)?(y,z)．
利用归纳法可证对于正整数n，(nx,z)?n(x,z)成立，对于有理数r?q(rx,z)?(qrx,z)?(px,z)?p(x,z)，
p，其中p,q?N，有 q于是得(rx,z)?p(x,z)?r(x,z)成立．因为对于实数??R，存在有理数列{rn}??(n??)，所q以有rnx??x，利用范数的连续性知(rnx,z)?(?x,z)，故
(?x,z)?lim(rnx,z)?limrn(x,z)??(x,z)．□
n??n??注6：对于线性赋范空间而X言，上述定理表明：如果X上的范数不满足平行四边形公式，那么X上不存在这样的内积，使得它导出的范数就是X上的范数．
例1.2 对于线性赋范空间lp?{x|x?(x1,x2,?),?xii?1?p1p?p1p?p其中p?1，范数定义???,xi?C}，
为x?(?xi)，距离为d(x,y)?(?xi?yi)，前面章节的结论表明lp为Banach空间, l2为
i?1i?1Hilbert空间．证明当p?2时，lp不成为内积空间．
证明 由上述定理知，只需验证当p?2时，lp不满足平行四边形公式．令
x?(1,1,0,0,?,0,?)，y?(1,?1,0,0,?,0,?)，
则x,y?l，且x?2，y?2以及x?y?2，x?y?2，于是
x?y?x?y?8，2x?2y?2?2?2?2?4?2，
22222p2p2pp1p1p因此x?y?x?y?2x?2y当且仅当p?2，即当p?2时，lp上不能定义内积(x,x)使得x?(x,x)．□
例1.3 对于连续函数空间空间C[a,b]而言，范数为||x||?max|x(t)|，导出的距离为
t?[a,b]122222d(x,y)?||x?y||?max|x(t)?y(t)|时，C[a,b]为Banach空间．证明C[a,b]不成为内积空间．
t?[a,b]证明 令x(t)?1，y(t)?
t?a，显然x?y?1，而 b?a
x(t)?y(t)?1?t?at?a，x(t)?y(t)?1? b?ab?a于是有x?y?2，x?y?1，从而得，
x?y?x?y?5，2x?2y?4，
2222因此平行四边形公式不成立，即在C[a,b]上不能定义内积(x,x)使得x?(x,x)．□
例1.4 对于p次幂可积函数空间Lp[a,b]?x(t)| ?|x(t)|pdt???，范数定义为
[a,b]||x||?(?12??[a,b]导出的距离为d(x,y)?(?|x(t)|dt)，
p1p[a,b]证|y(t)?x(t)|dt)，Lp[a,b]为Banach空间．
p1p明当p?2时，Lp[a,b]不成为内积空间．
证明 令x(t)?1，y(t)????1t?[a,c)a?b，其中c?，于是有
1t?[c,b]2??0t?[a,c)?2t?[a,c)x(t)?y(t)???，x(t)?y(t)???．
?2t?[c,b]?0t?[c,b]则
1?b?apx?y?(b?a)，x?y?x?y?(2?)?2p(b?a)p．
2p1p111故
2x?2y22?4(b?a)，x?y?x?yp2p22?23?2p(b?a)，
122p可见当p?2时平行四边形公式不成立，即在L[a,b]上不能定义内积(x,x)使得x?(x,x)．□ 数学家简介
大卫?希尔伯特（David Hilbert，1862 年1月23日―1943年2月14日），德国数学家，
是19世纪和20世纪初最具影响力的数学家之一．希尔伯特1862年出生于哥尼斯堡，1943年在德国哥廷根逝世．他因为发明和发展了大量的思想观念（例如：不变量理论，公理化几何，希尔伯特空间）而被尊为伟大的数学家、科学家．希尔伯特和他的学生为形成量子力学和广义相对论的数学基础做出了重要的贡献．他还是证明论、数理逻辑、区分数学与元数学之差别的奠基人之一．他热忱地支持康托的集合论与无限数．他在数学上的领导地位充分体现于：1900年，在巴黎举行的第2届国际数学家大会上，38岁的大卫?希尔伯特作了题为《数学问题》的著名讲演，提出了新世纪所面临的23个问题．这23个问题涉及了现代数学的大部分重要领域，著名的哥德巴赫猜想就是第8
个问题中的一部分．对这些问题的研究，有力地推动了20世纪各个数学分支的发展．希尔伯
特的着作有《希尔伯特全集》《几何基础》《线性积分方程一般理论基础》等．1928年他跟威廉?阿克曼合写《理论逻辑原理》（Grundzuge der Theoretischen Logik）．1930年，希尔伯特在他退休时演讲的最后六个单词，Wir müssen wissen, wir werden wissen. 我们必须知道，我们必将知道（We must know, we shall know）也是鼓舞一代数学家的六个单词．尽管当时第三次数学危机仍然阴魂不散，但他们坚信，数学大厦的基础是坚实的．他们也坚信，任何数学真理，只要通过一代又一代人的不断努力，都能用逻辑的推理将其整合到数学的大厦中．这是何等的气魄！这是何等的梦想！
线性与非线性泛函◇
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