概率公式总结 

一、随机事件和概率

1、随机事件及其概率 运算律名称 交换律 结合律 分配律 德摩根律 2、概率的定义及其计算 公式名称 求逆公式 加法公式 条件概率公式 乘法公式 全概率公式 表达式 A?B?B?A AB?BA (A?B)?C?A?(B?C)?A?B?C (AB)C?A(BC)?ABC A(B?C)?AB?AC A?(BC)?(A?B)(A?C) A?B?AB AB?A?B 公式表达式 P(A)?1?P(A) P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB) P(BA)?P(AB) P(A)P(AB)?P(A)P(BA) P(AB)?P(B)P(AB) P(B)??P(A)P(BA) iii?1n贝叶斯公式 （逆概率公式） 伯努力概型公式 两件事件相互独立相应公式 P(AjB)?P(Aj)P(BAj)?P(A)P(BA)jii?1? kkPn(k)?Cnp(1?p)n?k,k?0,1,?n P(AB)?P(A)P(B)；P(BA)?P(B)；P(BA)?P(BA)；P(BA)?P(BA)?1；P(BA)?P(BA)?1 二、随机变量及其分布

1、分布函数性质

P(X?b)?F(b) P(a?X?b)?F(b)?F(a)

2、散型随机变量

分布名称 0–1分布B(1,p) 二项分布B(n,p) 泊松分布P(?) 几何分布G(p) 分布律 P(X?k)?pk(1?p)1?k,k?0,1 kkP(X?k)?Cnp(1?p)n?k,k?0,1,?,n P(X?k)?e???kk!,k?0,1,2,? P(X?k)?(1?p)k?1p,k?0,1,2,? 1

超几何分布H(N,M,n) 3、续型随机变量 分布名称 均匀分布U(a,b) P(X?k)?kn?kCMCN?MnCN,k?l,l?1,?,min(n,M) 密度函数 分布函数 0,x?a???x?aF(x)??,a?x?b b?a?1,x?b???1?b?a,a?x?bf(x)?? ?0,其他???x???e,x?0 f(x)???其他?0,指数分布E(?) x?0?0,F(x)?? ??x?1?e,x?012??1正态分布N(?,?2) f(x)?12??12?e?(x??)22?2???x??? F(x)??x??e?(t??)22?2dt 标准正态分布N(0,1) ?(x)?e?x22???x??? F(x)?2???x??e?(t??)22?2dt 三、多维随机变量及其分布

1、离散型二维随机变量边缘分布 pi??P(X?xi)??P(X?x,Y?y)??pijjjij

p?j?P(Y?yj)?iP(X?xi,Y?yj)??piij

2、离散型二维随机变量条件分布

pij?P(X?xiY?yj)?P(X?xi,Y?yj)P(Y?yj)P(X?xi,Y?yj)P(X?xi)?pijP?jpijPi?,i?1,2?

pji?P(Y?yjX?xi)??,j?1,2?

3、连续型二维随机变量( X ,Y )的分布函数F(x,y)?x????xy????f(u,v)dvdu

4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：FX(x)? FY(y)?????y??????f(u,v)dvdu 密度函数：fX(x)?f(u,v)dudv fY(y)???????f(x,v)dv f(u,y)du

????????5、二维随机变量的条件分布

fYX(yx)?f(x,y)f(x,y),???y??? fXY(xy)?,???x??? fX(x)fY(y)四、随机变量的数字特征

1、数学期望

离散型随机变量：E(X)?2、数学期望的性质

(1)E(C)?C,C为常数 E[E(X)]?E(X) E(CX)?CE(X)

(2)E(X?Y)?E(X)?E(Y) E(aX?b)?aE(X)?b E(C1X1??CnXn)?C1E(X1)??CnE(Xn)

2

?k?1??xkpk 连续型随机变量：E(X)??????xf(x)dx

(3)若XY相互独立则：E(XY)?E(X)E(Y) (4)[E(XY)]2?E2(X)E2(Y) 3、方差：D(X)?E(X2)?E2(X) 4、方差的性质

(1)D(C)?0 D[D(X)]?0 D(aX?b)?a2D(X) D(X)?E(X?C)2

(2)D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y) 若XY相互独立则：D(X?Y)?D(X)?D(Y) 5、协方差：Cov(X,Y)?E(X,Y)?E(X)E(Y) 若XY相互独立则：Cov(X,Y)?0 6、相关系数：?XY??(X,Y)?7、协方差和相关系数的性质

vX,Y)?Co(vY,X) (1)Cov(X,X)?D(X) Co((Xv,Y) (2)Cov(X1?X2,Y)?Cov(X1,Y)?Cov(X2,Y) Cov(aX?c,bY?d)?abCoCov(X,Y)D(X)D(Y) 若XY相互独立则：?XY?0即XY不相关

8、常见数学分布的期望和方差 分布 0-1分布B(1,p) 二行分布B(n,p) 泊松分布P(?) 几何分布G(p) 超几何分布H(N,M,n) 均匀分布U(a,b) 正态分布N(?,?2) 指数分布E(?) 数学期望 p 方差 p(1?p) np(1?p) np ? 1 p? 1?pp2n nM NMMN?m (1?)NNN?1a?b 2(b?a)2 12?2 ? 1 ?1?2 五、大数定律和中心极限定理

1、切比雪夫不等式

若E(X)??,D(X)??2,对于任意??0有P{X?E(X)??}?nD(X)?2D或P{X?E(X)??}?1?nD(X)?2

12、大数定律：若X1?Xn相互独立且n??时，

n?i?11Xi???n?E(X)

ii?1 3

(1)若X1?Xn相互独立，E(Xi)??i,D(Xi)??i2且?i21?M则：

n?i?1n1Xi???nP?E(X),(n??)

ii?1n1nP(2)若X1?Xn相互独立同分布，且E(Xi)??i则当n??时：?Xi????

ni?13、中心极限定理

(1)独立同分布的中心极限定理：均值为?，方差为?2?0的独立同分布时，当n充分大时有：

?XYn?k?1nk?n?~???N(0,1)

n?(2)拉普拉斯定理：随机变量?n(n?1,2?)~B(n,p)则对任意x有： limP{?n?npnp(1?p)x????x}??x12???e?t22dt??(x)

n(3)近似计算：P(a??k?1nXk?b)?P(a?n?n??X?k?1k?n??b?n?n?n?)??(b?n?n?)??(a?n?n?)

六、数理统计

1、总体和样本

总体X的分布函数F(x)样本(X1,X2?Xn)的联合分布为F(x1,x2?xn)??F(xk)

k?1n2、统计量

1(1)样本平均值：X?n?i?1n1Xi (2)样本方差：S?n?12?1(Xi?X)?n?1i?12nn?i?1n(Xi2?nX)

2(3)样本标准差：S?1n?1?1(Xi?X) (4)样本k阶原点距：Ak?ni?12n?Xi?1ki,k?1,2?

1(5)样本k阶中心距：Bk?Mk?n?(Xi?1ni?X)k,k?2,3?

(6)次序统计量：设样本(X1,X2?Xn)的观察值(x1,x2?xn)，将x1,x2?xn按照由小到大的次序重新排列，得到

x(1)?x(2)???x(n)，记取值为x(i)的样本分量为X(i)，则称X(1)?X(2)???X(n)为样本(X1,X2?Xn)的次序统计

量。X(1)?min(X1,X2?Xn)为最小次序统计量；X(n)?max(X1,X2?Xn)为最大次序统计量。 3、三大抽样分布

22(1)?2分布：设随机变量X1,X2?Xn相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1)，则随机变量?2?X12?X2??Xn所服从的分布称为自由度为n的?2分布，记为?2~?2(n)

性质：①E[?2(n)]?n,D[?2(n)]?2n②设X~?2(m),Y~?2(n)且相互独立，则X?Y~?2(m?n)

4

(2)t分布：设随机变量X~N(0,1),Y~?2(n)，且X与Y独立，则随机变量：T?的n的t分布，记为T~t(n)

n,(n?2)②limt(n)?N(0,1)?n??n?212??(x??)22?2XYn所服从的分布称为自由度

性质：①E[t(n)]?0,D[t(n)]?e

Un1所服从的分布称为自Vn2(3)F分布：设随机变量U~?2(n1),V~?2(n2)，且U与V独立，则随机变量F(n1,n2)?由度(n1,n2)的F分布，记为F~F(n1,n2) 性质：设X~F(m,n)，则

1~F(n,m) X七、参数估计

1、参数估计

(1) 定义：用?(X1,X2,?Xn)估计总体参数?，称?(X1,X2,?Xn)为?的估计量，相应的?(X1,X2,?Xn)为总体?的估计值。

(2) 当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的最大似然估计值 2、点估计中的矩估计法：（总体矩=样本矩） 1离散型样本均值：X?E(X)?n1离散型参数：E(X)?n2????i?1nXi 连续型样本均值：X?E(X)??????xf(x,?)dx

?Xi?1n2i

3、点估计中的最大似然估计

最大似然估计法：X1,X2,?Xn取自X的样本，设X~f(x,?)[或P(X?Xi)?P(?)]则可得到概率密度：f(x1,x2,?xn,?)??f(x,?)[或P(X?X,Xi1i?1nnn2,?Xn?xn)??P(X?x)??P(?)]

iii?1i?1nn基本步骤： ①似然函数：L(?)?n?f(x,?)[或?P(?)]

iii?1i?1②取对数：lnL??lnf(X,?)

ii?1?????lnL?lnL?0,?,?0最后得：?1??1(x1,x2,?xn),?,?k??k(x1,x2,?xn) ③解方程：??1??k

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